Afin de mieux le comprendre et l'utiliser, nous discutons ici différents points qui nous ont paru remarquables, concernant le paramètrage de l'algorithme (fonction g et test d'homogénéité). Enfin, nous comparons le procédé de Liu à d'autres algorithmes utilisés en smoothing.
Donnons quelques définitions préliminaires:Afin de caractériser le comportement asymptotique du filtrage, nous introduisons la déviation de l'image, prise égale à la somme des carrés des différences d'intensité en chaque pixel pré et post traitement. Ces différences sont facilement accessibles, et il est possible d'obtenir, outre la déviation entre l'image initiale et l'image traitée, la déviation relative à chaque itération . Elle nous a permis de confirmer les résultats empiriques de Liu quant à la convergence de l'algorithme.
Nous avons dérivé de cette définition celle d'une déviation relative homogène considérant uniquement dans la somme, les pixels satisfaisant au test d'homogénéité, et de manière duale, une déviation relative non-homogène considérant uniquement les pixels situés dans des zones non-homogènes. Ces indicateurs supplémentaires devant fournir une information quant au mode d'activité prépondérant au cours des itérations successives.
Dans le graphe ci-dessous :
- la courbe du haut decroissante représente la déviation non-homogène
- la courbe du bas représente la déviation homogène
- la courbe du haut croissante représente le taux d'homogénéisation, soit le pourcentage des pixels de l'image qui satisfont au test d'homogénéité
Calcul des deux déviations, effectué sur 30 itérations Nous pouvons donc constater que l'algorithme fonctionne initialement dans un mode que nous appellerons "non-homogène", et rentre progressivement au cours des itérations successives dans un second mode que nous appellerons "homogène". L'activité du premier mode "non-homogène" consiste en une homogénéisation grossière mais efficace, tandis que le second mode tient plus d'un raffinement de l'homogénéisation. Ce dernier mode est beaucoup plus discret car son activité est relative aux pixels comptabilisés dans le taux d'homogénéisation qui dépasse rarement l'unité (en pourcentage des pixels de l'image).
Un fait surprenant est l'apparente invariance des résultats selon les paramètres alpha et K. Une interprétation empirique prendrait en compte le fait de la faible activité du mode "homogène" relativement à celle du mode "non-homogène". Nous préférons néanmoins considèrer directement les caractéristiques de la fonction g et de la fonction de test f .
De gauche à droite, les fonctions g avec K croissant de 0.1 à 1 La fonction f représentée pour des valeurs de alpha dans l'intervalle [0;1]
- L'application de la fonction g aux valeurs de probabilités obtenues pour chacunes des régions autour d'un pixel (Cf affectation d'un pixel en mode homogène) peut être comprise comme un calcul de norme intermédiaire avec la norme infinie sur les moyennes des régions, à savoir que lorsque K tend vers 0, le calcul ainsi effectué revient à identifier la valeur maximale des moyennes dans ce voisinage. L'invariance selon K réaliserait donc la convergence inconditionnelle de l'algorithme selon la norme utilisée.
- La fonction f, pour un paramètre alpha donné, détermine le facteur multiplicatif appliqué aux écart-types lors du test d'homogénéité. Rappelons qu'un pixel est dit homogène si toutes les différences de moyennes entre régions sont inférieures à un certain seuil fixé par les écart-types et f(alpha) (Cf test d'homogénéité). L'espace image de f borné et majoré par 0.34 limite visiblement les possibilités d'obtenir un seuil grand, relativement aux écart-types. Le caractère sélectif du test, que corroborent les très faibles valeurs observées du taux d'homogénéisation, apparaît donc quasi-indépendant de alpha.
Nous proposons ici de confronter certains résultats obtenus par la méthode de Liu à et celles de Nagao, de Tomita et Tsuji. L'image utilisée pour cette comparaison est de type aérien, comportant de nombreuses discontinuités et à priori sans véritables zones homogènes.
Image originale Image traitée par Nagao Image traitée par Tomita et Tsuji Image traitée par Liu Les résultats montrent des comportements différents face au problème de l'homogénéisation pour les trois méthodes. L'algorithme de Liu se distingue par son acuïté à préserver les discontinuités des frontières en évitant l'effet de blocs, et par une homogénéisation plus franche des zones connexes.
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