Conclusion

[ Précédente ] [ Accueil ] [ Suivante ]

Nous avons implémenté les deux algorithmes, presque identiques, permettant d'effectuer l'Analyse en Composantes Principales (ACP) et la Transformation de Karhunen-Loeve (TKL) sur des images en couleurs (3 canaux dans le visible) ou les images possédant un nombre quelconque de canaux spectraux.

Ces deux transformations permettent d'obtenir l'image décomposée sur un nouveau jeu de canaux artificiels, aussi appelés axes principaux, qui présentent les caractéristiques suivantes :

• Ils sont décorrélés;
• Ils correspondent aux directions de variances maximales du nuage des données initiales;

Ces transformations "compactent" l'énergie au maximum, dans le sens où elle permettent de rassembler le maximum d'énergie dans les premiers sous-espaces engendrés par les premiers axes principaux. Le fait que ces nouveaux canaux sont décorrélés signifie aussi que la moyenne géométrique de leurs puissances est minimale (voir reference [5] en bibliographie).

Les points noirs communs à ces deux transformations sont principalement les suivants :

• La charge de calcul peut devenir prohibitive, dès lors que la taille de l'image est grande et que le nombre de canaux de couleurs devient important. En effet, la technique repose sur la recherche des vecteurs propres de la matrice de covariance des variables de départ.
• Cette transformation n'a pas d'interprétation fréquentielle simple.

La différence entre ces deux transformation réside, comme nous l'avons vu, dans le fait que l'ACP recherche les axes principaux à partir de données centrées et normées. La TKL recherche aussi les axes principaux, mais en affectant un "poids" à chacun des canaux spectraux initiaux : leur variance.

Voici les observations que nous sommes en mesure de faire à partir des différentes images traitées :

• La TKL présente, de manière quasi-systématique, des pourcentages d'inertie sur le ou les premiers axes qui sont plus satisfaisants que ceux de l'ACP (voir exemples);
• En revanche, les canaux qui possèdent une variance faible par rapport aux autres sont beaucoup mieux représentés après une ACP (voir le canal bleu notamment, dans les exemples d'images en couleurs, ou les canaux à faible variance dans l'image à  6 canaux satellitaire : exemples);

Ces résultats sont explicables :

• Les images de départ présentent des canaux qui ne possèdent pas les même quantités d'information, en termes de variance. Il est donc naturel que les canaux à faible variance influent beaucoup moins que les autres sur le résultat de l'analyse par TKL. L'ACP, quant à elle, leur attribue exactement le même poids dans l'analyse. Pour peu qu'un canal x à faible variance possède des informations qui sont décorrélées de manière importante avec les autres canaux, l'ACP ne permettra pas de "compresser" autant que la TKL les données sur les premiers axes principaux, cette dernière accordant beaucoup moins d'importance au canal x. Les pourcentages d'inertie de la TKL seront donc meilleurs.
• Le fait que les canaux à faible variance soit mieux représentés après une ACP découle directement de la remarque précédente : pour la TKL, les canaux les moins bien représentés sont ceux possédant un faible poids, soit une faible variance par rapport aux autres; pour l'ACP, ces canaux possèdent le même poids que les autres et sont donc mieux représentés.

Nous concluerons donc en disant que la TKL se justifie lorsque l'on veut réduire la dimensionnalité des données en gardant intactes les importances quantitatives et relatives de représentation des objets avant et après transformation. Autrement dit, les objets faiblement représentés dans les canaux de départ le seront également après transformation. Cette transformation est la plus naturelle, puisque les variables de départ sont homogènes. L'ACP se justifie plus lorsque l'une ou plusieurs des variables (ou canaux) de départ présentent des variances trop faibles ou trop importantes par rapport aux autres. Elle permet alors de représenter avec beaucoup plus de qualité les canaux à variances faibles, dont on ne veut pas perdre l'information. D'une manière générale, les canaux initiaux sont beaucoup plus équitablement représentés, ce qui est une chose qui peut être très avantageuse par rapport à la TKL suivant l'application visée. Comme nous l'avons dit, cet avantage de l'ACP est contrebalançé par le fait que les pourcentages d'inertie des premiers axes principaux issus de l'analyse par TKL sont plus intéressants.

[ Précédente ] [ Accueil ] [ Suivante ]