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Construction des opérateurs à activité étendue

La proposition suivante montre comment à partir d'un opérateur croissant \(\psi\), on peut construire des opérateurs à activité étendue.

Proposition 4   Soit \(\psi\) un opérateur croissant, et soient \(\alpha\) et \(\beta\) respectivement une ouverture et une fermeture telles que \(\alpha\leq\psi\leq\beta\). Les opératers suivants:

\begin{displaymath} \left . \begin{array}{l} \pi_{1}=(id\wedge\psi\beta)\vee\psi... ...a\alpha\beta\psi)\vee\alpha\beta\alpha\psi \end{array}\right . \end{displaymath}

sont des opérateurs à activité étendue.

A partir du résultat précédent, on obtient un résultat encore plus important:

Proposition 5   Soit \(\psi\) un opérateur croissant et auto-dual et \(\alpha\) une ouverture telle que \(\alpha\leq\psi\). Si on pose, \(\beta=\alpha^{*}\), les opérateurs modifiés \(\pi_{1},\pi_{2} \mbox{et} \pi_{3}\) deviennent auto-duaux en plus d'être à activité étendue. L'itération à l'infini de ces opérateurs donne alors des filtres morphologiques auto-duaux.


Anas Benabid 2003-03-31