Sommaire
Introduction
Perona et Malik
Dérivée seconde
Ecart-moyen

Equation de diffusion anisotrope contrôlée par une mesure différente du gradient

Conduction liee a la derivee seconde

Principe général

Au lieu de prendre la norme du gradient comme indice d'estimation de présence de contour, nous envisageons ici de prendre en compte la dérivée seconde (ou le maximum du gradient, ce qui revient au même).

Nous décidons donc de repérer le maximum du gradient pour trouver les contours. De façon à filtrer le bruit, nous imposons deux contraintes supplémentaires liées au gradient :

nous ne retenons qu'un seul maximum du gradient pour chaque pente : suivant la direction nord-sud ou est-ouest un maximum positif de la dérivée première est nécessairement suivi d'un minimum négatif. Cela revient à supposer que l'image est nécessairement composée de plateaux suivis de vallées et ainsi de suite.
un maximum du gradient doit être supérieur à un certain seuil pour être retenu. Cela revient à éliminer les petites perturbations au niveau de la dérivée seconde que nous savons très sensible au bruit : nous pouvons ainsi nous affranchir d'un prétraitement qui aurait pour effet d'alonger le temps de calcul et d'atténuer les contours.

Ensuite, nous supposons que plus un point est à l'intérieur d'une vallée ou d'un plateau, plus il doit être semblable aux points qui l'entoure. C'est pourquoi nous établissons la matrice des distances par rapport aux contours supposés et appliquons un coefficient fonction de cette distance (en pratique, la distance 1, plus pratique à mettre en oeuvre car elle correspond à la 4-connexité).

Détail de l'algorithme

Prenons l'exemple d'une coupe d'une image :

De cette image, nous pouvons en faisant la différence des points adjacents en obtenir le gradient discret :

En retenant le principe du seuil à gradient supérieur à 30 et alternance de la dérivée, nous ne retenons qu'un nombre réduit de points (distance nulle sur le graphique ci-dessous). Nous calculons alors la distance à ces points, représentée sur le schéma suivant :

Cette distance détermine alors les coefficients c que nous retenons lors de la diffusion (en pratique c=1-g(d) en reprenant les fonctions utilisées par Perona et Malik).

Il suffit alors d'appliquer l'équation de diffusion sur l'image. Nous voyons que les points qui sont le plus modifiés par cette diffusion sont ceux qui se situent loin des contours présupposés et dont le gradient est maximum (mais pas trop pour ne pas être retenu comme contour potentiel).

Ce processus est alors répété plusieurs fois successivement.

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