2.2. Hypothèse de
symétrie [3]
L’image est considérée symétrique par rapport aux bords définis par
l’image floue. Cette symétrie est aussi bien de haut en bas que de droite à
gauche. Une valeur à l’extérieur est égale a sa valeur symétrique.
La Figure 2.2.1 donne l’exemple de deux correspondances entre la valeur
‘’bleu’’ à l’extérieur et son symétrique horizontal situé l’intérieur ainsi que
la valeur ‘’jaune’’ à l’extérieur et son symétrique vertical situé à
l’intérieur.
Figure 2.2.1 : Egalité entre valeurs pour image dite
symétrique.
L’Hypothèse de symétrie est une autre manière qui permet de rendre l’inversion
de la matrice H simple. Car avec telle hypothèse H
est Toeplitz-plus-Hankel, qui est une matrice diagonalisable par utilisation de
la matrice cosinus discrète C ayant pour éléments 
,
où i et j désignent respectivement la ligne et la
colonne, avec :
où 
et
delta de Kronecker.
H
peut être décomposé en la somme de deux matrices de Toeplitz et de Hankel :
avec chaque sous matrice {Hi avec i = 0,…,m} donnée par la
formule suivante :
Où J est une
matrice carrée de dimension N ayant des 1 sur la diagonale
secondaire et des zéros ailleurs.
Chaque matrice Hi peut être
diagonalisée par la matrice C :
Le
calcul des valeurs de la diagonale se fait de la même manière que pour la
matrice circulante :
La matrice H
et diagonalisable par la matrice résultante du produit Kronecker entre deux
matrices C :
Le calcul des
valeurs de la diagonale, s’effectue en quatre étapes :
P est la matrice de
permutation du produit de Kronecker, elle vérifie PtP
=I
1/
Où le calcul de
est
construit par les valeurs propres de Hi
2/
Le N
représente soit le nombre de ligne ou de colonne.
La matrice 
a la même forme que Hi
donc diagonalisable par la matrice C :
3/
4/
M représente le nombre de colonnes si N représente le
nombres de ligne et vice-versa.
Vu que la matrice 
est diagonale, alors la dernière étape ne
fera que changer la position des valeurs mais 
reste diagonale.
Important : La matrice de la réponse
impulsionnelle doit être symétrique par rapport à la colonne et la ligne du
milieu :
h(-i,-j)=h(-i,-j)=
h(-i,j)= h(i,-j)
Malgré que cette méthode paraisse plus compliqué que la circulante,
lors de son implémentation, l’algorithme est plus simple puisqu’il y a que des
permutations à faire où les matrices sont diagonales, donc seulement une
transposition d’une matrice qui contient dans ses colonnes les diagonales de 
puis de 
.