2.1. Hypothèse de
périodicité [2] [3]
L’image est considérée repliée sur elle-même dans les deux directions
(haut - bas, droite - gauche) comme un tore. Une valeur à l’extérieur est égale
à la valeur à l’intérieur à une période d’écart, la période étant la taille de
l’image floue.
La Figure 2.1.1 donne
l’exemple de deux correspondances entre la valeur ‘’bleu’’ à l’extérieur et
celle à l’intérieur une période verticale plus loin ainsi que la valeur
‘’jaune’’ à l’extérieur et celle à l’intérieur une période horizontale plus
loin.
Figure 2.1.1: Egalité
entre valeurs pour image pérodique.
Une telle
hypothèse sur les bords rend le problème d'inversion simple à faire, vu que la
matrice de convolution H est circulante-bloc-circulante.
Où {Hi
avec i=0,2,···,M-1} sont des matrices
circulantes, telles que la matrice H résulte de deux opérations.
La première et de prendre chaque ligne ou colonne de la RI et construire 
:
j représente
la position de la ligne ou de la colonne.
La deuxième
opération est d’appliquer la formule précédente mais sur la matrice 
:
L'inversion d'une
telle matrice est simple car elle peut être facilement diagonalisée par la
matrice de Fourier Discrète F à deux dimensions:
Où 
est
le produit de Kronecker.
Avec les éléments
de la matrice
:
avec
j=N, M où M et N
représentent respectivement la largeur et la hauteur de l’image.
Donc 
avec 
est
une matrice diagonale ou ses éléments diagonaux s’obtient par la formule
suivante:
avec i=1,…,NM
représente les valeurs
propres de la matrice H. Donc, d’après l’équation si dessus, on
peut obtenir les valeurs propres de la matrice H en faisant
seulement la transformée de Fourier directe (TFD) de la première colonne de H,
ce qui allègera considérablement les calcul et la taille de la mémoire occupée.