1. Introduction
Un grand nombre d’images
dégradées peuvent être considérées en bonnes approximations comme résultant
d’une convolution entre une image originale et une réponse impulsionnelle.
Cette réponse impulsionnelle est responsable du ‘’flou’’ de l’image.
Nous considérerons que cette
réponse impulsionnelle est connue ou à pu être déterminée auparavant.
Plusieurs
méthodes permettent de restaurer cette image dégradée afin de trouver une image
approchant de l’image originale perdue. Parmi celles-ci, le filtrage inverse,
l’inversion généralisée, la déconvolution récursive. Nous nous cantonnerons ici aux
méthodes de déconvolution non itératives.
La déconvolution revient
dans ce cas à résoudre un système qui à plus d’inconnues que de données. Pour
limiter le nombre d’inconnus aux nombres de données, il est nécessaire de faire
des hypothèses sur une partie des inconnues, c’est à dire sur les bords de
l’image.
Le système peut être mis
sous forme matricielle. Sa résolution équivaut à l’inversion d’une matrice.
Certaines formes de matrices sont plus faciles à inverser que d’autre, comme
les matrices diagonales ou celles qui se mettent rapidement sous forme
diagonale. Tel est le cas des matrices circulantes diagonalisables par la
Transformée de Fourier Discrète (DFT) et les matrices Toeplitz-plus-Hankel
diagonalisable par la Transformée en Cosinus Discret (DCT).
Nous nous limiterons aux
hypothèses de périodicités et de symétrie de l’image qui donnent respectivement
des matrices Circulante et Toeplitz-plus-Hankel et une inversion en Nlog(N).