IV. Entropie

Suivant les idées de Shannon, l’entropie est une mesure statistique du contenu d’information d’un message. Elle est donc adaptée à caractériser les images, chacune d’entre elles étant prise comme un message spécifique.

a) entropie d’ordre 0

Suivant l’idée précédente, Hartley en 1925 attribue à un symbole i émis par une source stationnaire avec une probabilité p_i, la quantité d’information :

Shannon définit alors l’information moyenne par symbole ou entropie par :

Considérant une image comme une source stationnaire de pixels, l’entropie se mesure donc à partir du seul histogramme de l’amplitude.

Utilisant les propriétés de la fonction log(x), on montre que l’entropie est maximale pour une répartition uniforme de probabilité S_max=log(n).

En terme d’histogramme, cela se traduit par un histogramme rigoureusement plat :

C’est cette notion d’entropie qui va être le fondement de tous les algorithmes présentés. En effet toutes nos méthodes vont viser à maximiser l’entropie d’ordre 0.

V. Pourquoi est-il nécessaire de modifier l’histogramme ?

Supposons que l’on ne puise discerner que très peu de détails dans une image. La raison la plus probable est que les pixels qui représentent différents objets ou différentes parties d’un objet ont un niveau de gris très proche. Ceci est illustré par la figure suivante : l’histogramme de l’image « mauvaise » est très resserré alors que celui de l’image « bonne » est plus étalé.

VI. Les algorithmes mathématiques

a) l’expansion de dynamiques

Cela consiste à étaler la dynamique de l’image qui est contenue dans l’intervalle [a,b], sur les 256 niveaux de gris disponibles :

Pour cela, on utilise la transformation linéaire T suivante :

Soit n le niveau de gris du pixel (i,j) de l’image de départ :

où M représente l’amplitude d’arrivée (en général M=255).

et round(.) est la fonction qui arrondit à l’entier le plus proche.

L’introduction de round(.) provient du caractère discret de l’image et de la quantification linéaire des 256 niveaux de gris.

Pour améliorer les performances de cet algorithme, nous n’avons plus considéré a et b dans la formule mais a’ et b’.

Obtention de a’ : on parcourt l’histogramme de l’image de gauche à droite. On s’arrête lorsque l’on a atteint 1% du nombre total de pixels. L’abscisse de ce point nous fournit a’.

Obtention de b’ : on parcourt l’histogramme de l’image de droite à gauche cette fois-ci. On s’arrête lorsque l’on a atteint 1% du nombre total de pixels. L’abscisse de ce point nous fournit b’.

Zone de Texte: Niveaux de gris d’arrivée

Ce seuil permet d’améliorer l’expansion pour des images dont l’histogramme a l’allure suivante : très peu de pixels ayant des niveaux de gris proches de 0, et très peu de pixels ayant des niveaux de gris proches de 255

Si on avait utilisé l’algorithme sans seuillage, la dynamique s’étalant de 0 à 255 notre algorithme n’aurait eu aucun effet. (avec a=0 et b=255, on obtient T(n)=n, ce qui correspond à une invariance des niveaux de gris).

Mais grâce au seuillage, l’algorithme permettra un meilleur étalement de la dynamique, les différences importantes de pixels dans chaque niveau de gris se verront réduites.

Ce traitement se trouve être vraiment significatif pour les images dont l’histogramme est resserré comme nous le montre l’exemple précédent.

L’étalement de cette dynamique permet de discerner des détails invisibles sur l’image originale.

Cet algorithme n’a aucun effet sur les images dont l’histogramme occupe quasiment toute la plage des niveaux de gris ainsi que sur les images dont l’histogramme possède un pic en 0 et un pic en 255 comme le damier par exemple :

Dans ce cas a=0 et b=255 d’où T(n)=n, l’algorithme n’a aucun effet alors que l’on voit pertinemment que la dynamique n’est pas « tellement » étalée.

Il n’a non plus aucun effet intéressant sur les images pathologiques (comme par exemple une image dont l’histogramme est quasiment un dirac. Cet algorithme se contente alors de translater le pic, ce qui bien sûr n’a aucun intérêt pratique) :

Remarque :

Cet algorithme n’a pas pour but de rendre l’histogramme d’une image plat. Il ne sert qu’à étaler la dynamique sur tous les niveaux de gris disponibles. Toutefois c’est un prétraitement nécessaire pour le bon fonctionnement des algorithmes développés ci-après. C’est pour cette raison que nous avons jugé bon de le développer.

b) Egalisation d’histogramme

Algorithme

L’égalisation d’histogramme est un procédé par lequel on force tous les niveaux de gris de l’image à être équiprobables.

Supposons que les niveaux de gris de l’image originale soient donnés par les valeurs de la variable r et par les valeurs de la variable s pour l’image traitée.

On cherche une transformation s = T(r) telle que la densité de probabilité p_r(r) soit transformée en p_s(s).

Puisque p_r(r) est la densité de probabilité de la variable aléatoire r, le nombre de pixels dont le niveau de gris est dans l’intervalle [r, r+dr] est p_r(r)dr.

La transformation recherchée transforme [r, r+dr] en [s, s+ds].

Le nombre de pixels dans [s, s+ds] sera le même que dans [r,r+dr], mais dans le cas de l’image traitée, il sera donné par p_s(s)ds :

On cherche p_s(s) = c = constante (histogramme plat).

Comme nous travaillons dans le cas normalisé et en supposant que l’on considère les niveaux de gris appartenent à [0,255], on prend . La formule finale est donc :

Cette formule est exacte dans le cas continu.

Malheureusement une image est discrète, notre formule devient donc :

on pose .

p_r représente l’histogramme normalisé de l’image originale.

C représente l’histogramme cumulé normalisé de cette image.

Finalement :

Voici quelques résultats obtenus par le biais de cet algorithme :

Résultats

figure. image originale accompagnée de son histogramme et de son histogramme cumulé.

figure. image traitée par l’algorithme d’égalisation, accompagnée de son histogramme

On voit nettement l’amélioration produite par l’application de l’algorithme d’égalisation.

L’image originale était une image très claire, en effet la majeure partie de l’histogramme est concentrée après 150 qui représentent les niveaux de gris « clairs ».

L’algorithme a donc étalé la dynamique, mais il a aussi équilibré les niveaux de gris. Ainsi, les niveaux de gris ne sont plus concentrés après 150, mais on a quasiment autant de pixels avec un niveau de gris supérieur à 150 que de pixels avec un niveau de gris inférieur à 150.

C’est l’égalisation.

Intéressons-nous à la partie de l’image contenue dans l’ellipse rouge.

Sur l’image originale, on distingue peu les deux visages tant ils sont clairs, tandis que sur l’image égalisée, c’est flagrant, on distingue parfaitement les visages et mêmes certains détails quasiment invisibles au préalable.

Cet algorithme fonctionne particulièrement bien dans le cas d’une image « normale » (non pathologique, c’est-à-dire qui occupe au moins 50% des niveaux de gris).

Par contre cet algorithme se révèle catastrophique sur une image pathologique comme le montre l’exemple suivant :

En effet comme on peut le prévoir, l’histogramme cumulé ressemble fortement à un échelon :

figure. à gauche l’histogramme, à droite l’histogramme cumulé normalisé.

D’après cet histogramme cumulé on aura un traitement correct pour les pixels dont le niveau de gris est compris entre 100 et 160 qui seront transformés en des pixels de niveaux de gris compris entre 0 et 50. Pour tous les autres, ils vont se retrouver agglutiner autour de 244.

Le pic a translaté de 175 à 244, mais l’histogramme ne s’est pas du tout aplati.

Cette translation de pic est encore plus flagrante sur l’exemple suivant :

L’histogramme cumulé est associé est :

figure. à gauche l’histogramme, à droite l’histogramme cumulé normalisé.

Cet exemple montre que finalement si l’image est constitué de strictement quelques diracs, l’image égalisée ne perdra pas sa cohérence, les niveaux de gris vont être translatés. Dans le cas du carré 4 couleurs les pics sont translatés vers la droite, éclaircissant ainsi chaque case.

L’algorithme ne permet toutefois pas du tout d’obtenir une nouvelle image avec un histogramme plat, mais elle ne détruit pas la cohérence de l’image contrairement au cas précédent.

Si l’histogramme de l’image originale peut être schématiquement associé à « une somme de sinus cardinaux carrés », le traitement est catastrophique, il détruit complètement l’image comme nos pauvres libellule ci-dessus.

2^ème algorithme

L’algorithme qui va être présenté est celui que l’on peut trouver dans la toolbox « image processing » de Matlab sous le nom de histeq(.).

Il s’inspire fortement de l’algorithme précédent avec une variante :

L’algorithme recherche la transformation T qui minimise :

où c₀ représente l’histogramme cumulé de l’image originale et c₁ l’histogramme cumulé d’un histogramme plat pour tous les niveaux de gris k.

Cette minimisation est faite sous contraintes :

T doit être monotone et c₁(T(a)) ne peut pas dépasser c₀(a) de plus de la moitié H(a) où H représente l’histogramme de l’image originale.

Comparaison des résultats du 1^er algorithme avec ceux du 2^ème

figure. à gauche utilisation du 1^er algorithme, à droite utilisation du 2^ème

Le 2^ème algorithme semble plus efficace que le premier sur une image non pathologique comme le prouve l’histogramme de droite.

Concernant les images pathologiques :

figure. à gauche utilisation du 1^er algorithme, à droite utilisation du 2^ème

On constate que ni le 1^er algorithme, ni le 2^ème ne sont robustes vis-à-vis des images pathologiques.

Tout comme le 1^er , le 2^ème algorithme détruit l’image. On peut noter que le pic ne s’est pas translaté au même endroit dans les 2 algorithmes.

figure. à gauche utilisation du 1^er algorithme, à droite utilisation du 2^ème

Tout comme le 1^er algorithme, le second ne fait que translater les pics. La cohérence de l’image n’est pas perdue, mais l’histogramme obtenu n’a rien à voir avec un histogramme plat.

Pourquoi les programmes d’égalisation d’histogramme ne produisent pas en général des images avec des histogrammes plats ?

Dans l’analyse précédente, on a tacitement considéré que les variables r et s prenaient des valeurs continues.

En réalité bien sûr, les niveaux de gris prennent des valeurs discrètes (entiers de 0 à 255).

Dans le cas continu, il y a un nombre infini de valeurs dans l’intervalle [r,r+dr].

Dans le cas des images numériques, nous avons seulement un nombre fini de pixels dans chaque intervalle, ce qui va entraîner « des trous » dans l’histogramme comme nous montre l’exemple suivant :

Initialement, on a une image qui a l’histogramme suivant :

calcul de l’entropie d’ordre 0

Ces 2 algorithmes ont été réalisés dans le but de maximiser l’entropie, voyons ce qu’il en est.

entropie : 4.7010 entropie : 4.6172 entropie : 4.6172

figure. à gauche l’image originale, au milieu l’image traitée par le 1^er algorithme, à droite l’image traitée

par le 2^ème algorithme d’égalisation

Contre toute attente l’entropie a diminué bien que nous ayons appliqué des algorithmes visant à aplatir l’histogramme !!!

Qualitativement parlant l’image a été améliorée, mais l’information contenue dans l’image quant à elle a diminué.

Cela s’explique par l’apparition des trous dans les histogrammes des images traitées comme nous l’avons expliqué plus haut.

Il va donc falloir trouver d’autres algorithmes ou pratiquer des manipulations d’histogrammes pour augmenter l’entropie.

Egalisation filtrée

On peut avoir l’idée de filtrer préalablement notre image par un filtre de Wiener et d’appliquer ensuite notre algorithme d’égalisation.

En fait il se trouve qu’effectivement pour certaines images l’entropie augmente. Mais ceci n’est pas vrai pour toutes les images comme nous allons le montrer sur les exemples suivants :

entropie : 3.0455 entropie : 3.0299 entropie : 2.6930

figure. à gauche l’image originale, au milieu l’image traitée par le 1^er algorithme, à droite l’image traitée

par le 2^ème algorithme d’égalisation

entropie : 3.9925 entropie : 3.9523 entropie : 4.2515

figure. à gauche l’image originale, au milieu l’image traitée par le 1^er algorithme, à droite l’image traitée

par le 2^ème algorithme d’égalisation

c) découpage de l’image

découpage de l’image en petite surface

L’ide est la suivante: plutôt que d’appliquer l’algorithme directement à l’image, on va découper cette image en sous-parties et appliquer l’égalisation à chaque partie.

entropie : 3.9925 entropie : 5.4320

Cette fois-ci, l’entropie a nettement augmenté, (l’histogramme n’est toujours pas plat), mais à quel prix ! L’image est complètement détruite, elle est toute mosaïquée. Si on y réfléchit, c’est tout a fait normal car ce traitement ne permet pas du tout de prendre en compte la surface voisine. Le traitement étant indépendant sur chaque surface, la cohérence de l’image est perdue.

Ce traitement est à bannir pour tout type d’image.

Application de l’égalisation sur un voisinage

Après l’échec cuisant de la première méthode de découpage, une autre possibilité est envisageable : on considère un voisinage pour chaque pixel ( ici on utilise un carré dont le centre est le pixel étudié), puis on applique l’égalisation à ce voisinage. On ne change la valeur que du pixel étudié et pas de tous les pixels de ce voisinage.

On effectue ce traitement pour tous les pixels de l’image.

entropie : 4.9009 entropie : 4.0269

figure. à gauche l’image originale, à droite l’image traitée par égalisation sur un voisinage

entropie : 1.5757 entropie : 3.0148

figure. à gauche l’image originale, à droite l’image traitée par égalisation sur un voisinage

Ce traitement se révèle être moins bon que l’égalisation globale pour des images « normales ». L’histogramme n’est pas plus plat et l’entropie n’est pas augmentée.

Par contre, ce traitement se révèle être meilleur pour les images pathologiques que l’égalisation globale. La dynamique est étalée et la cohérence de l’image est conservée.

Malheureusement cet algorithme est si lourd en temps de calcul qu’il est à bannir pour tout type d’image. (En effet pour une image de dimension , l’algorithme est fois plus long que l’égalisation globale. Ce temps est inacceptable compte tenu du résultat très moyen obtenu par l’application de cet algorithme).

d) découpage de l’histogramme

Connue sous le nom d’algorithme de Faust, cette méthode est une extension des transformations linéaires.

L’idée est de « découper » l’histogramme de l’image et d’appliquer une transformation linéaire différente à chaque morceau de celui-ci.

De manière plus précise, l’intervalle de départ ([0,255]) est découpé en plusieurs intervalles selon la règle suivante : les morceaux de l’intervalle de départ doivent être séparés par au moins 5 niveaux de gris successifs non représentés dans l’image. Une fois ces morceaux obtenus, une transformation linéaire est appliquée sur chacun d’eux sous les contraintes suivantes :

- la taille de l’intervalle d’arrivée est proportionnelle au nombre de pixels dont le niveau de gris appartient à l’intervalle de départ

- la réunion de tous les intervalles d’arrivée est égale à l’intervalle [0,255]

Ce genre de transformation n’est bien sûr profitable que si l’histogramme de l’image de départ présente des modes à supports séparés par des intervalles où les niveaux de gris ne sont pas représentés. Si tous les niveaux de gris de 0 à 255 sont présents dans l’image à traiter, cette transformation est équivalente à l’identité.

Il est aisé de générer une image possédant un histogramme répondant aux critères d’application de cet algorithme (autrement dit, dont l’histogramme possède des modes à supports disjoints), il suffit simplement de concaténer deux images.

Image originale (en haut) et image transformée (en bas)

Histogrammes de l’image originale et de l’image transformée

Cette transformation augment nettement le contraste de la partie de l’image où se trouvent les feuilles. Ceci provient du fait que le mode de l’histogramme relatif à cette partie de l’image est plus étroit sur l’image originale que le mode relatif à l’autre partie. La taille de son support est quadruplée lors de la transformation, alors que la taille du support relatif à l’autre partie de l’image n’est que doublée.

Les choses se passent donc bien si l’histogramme de l’image de départ présente des modes bien concentrés (c’est à dire sur des supports de petite taille). L’inconvénient de cette transformation est que justement, le genre d’images possédant de tels histogrammes est rare !

VII. les manipulations d’images et d’histogrammes pour rendre un histogramme plat

Les méthodes mathématiques n’ayant pas fourni les résultats escomptés, il reste maintenant la manipulation ou la « bidouille » pour obtenir une image avec un histogramme rigoureusement plat.

Il faut toutefois trouver des manipulations astucieuses. En effet comme nous l’avons vu précédemment, il faut conserver la cohérence de l’image.

a) égalisation d’histogramme par addition aléatoire

Des algorithmes d’aplanissement d’histogramme retournant en sortie une image dont l’histogramme est parfaitement plat sont tout à fait concevables. On peut par exemple penser à l’algorithme consistant à comparer le nombre de pixels pour chaque niveau de gris. Si ce nombre est supérieur à la moyenne de l’image, alors remplacer la valeur la valeur du niveau de gris de certains pixels de ce niveau (choisis aléatoirement et de façon uniforme) par une valeur pour laquelle le nombre de pixels est inférieure à la moyenne de l’image.

Cette idée simple, conduit à des résultats, certes excellent pour ce qui est de l’aplanissement de l’histogramme, mais retourne une image au contenu informationnel totalement distordu. En effet, cet algorithme, si on n’impose pas de contrainte supplémentaire, aura tendance à générer une image très bruitée.

Pour conserver l’allure générale de l’image, on s’impose la contrainte de respecter l’ordre des niveaux gris des pixels lors de la transformation (on impose donc à la transformation d’être croissante).

Le principe de l’algorithme que nous avons développés s’explique très facile en procédant à une analogie avec un jeu de 256 seaux d’eau numérotés de 0 à 255 (à mettre en relation avec l’histogramme d’une image). Le but de l’opération est, à partir d’une situation initiale de transvaser l’eau des seaux de façon à ce qu’ils soient tous remplis par le même volume d’eau (le volume d’eau total divisé par le nombre de seaux).

La contrainte de croissance de la transformation se traduit dans le cas présent par le fait de s’imposer de ne vider l ‘eau d’un seau pour la verser dans un autre que si tous les seaux dont le volume d’eau était initialement supérieurs au volume final moyen et dont le numéro est inférieur au numéro du seau en question ont été traités. Ca paraît compliqué, mais un schéma clarifie les idées :

ETAPE 1

ETAPE 2

ETAPE 3

En appliquant l’algorithme sur diverses images, les résultats obtenus sont plus ou moins satisfaisants (cela dit toujours plus satisfaisants que si la contrainte de croissance de la transformation n’était pas imposée).

Voici un exemple d’image sur lequel l’algorithme donne de bons résultats :

Image originale

Image après transformation

Histogrammes de l’image originale et de l’image après transformation

Le cas extrême d’une image ne comportant qu’un seul niveau de gris met bien en évidence les limites de cet algorithme. L’image résultante est trivialement une image ne contenant que du bruit suivant une loi uniforme.

Considérons l’exemple de nos deux libellules qui est un cas limite :

Image originale

Image après transformation

Histogrammes de l’image originale et de l’image après transformation

On se rend bien compte que des grandes zones de l’image où les niveaux de gris sont quasiment constants se retrouvent entachées de bruit sur l’image résultante.

Pour ce genre d’image pathologique, des traitements particuliers existent, comme l’aplanissement.

b) aplanissement

Cette méthode n’est utile que pour les images pathologiques qui possèdent un histogramme présentant un pic vers 0 si on veut un étalement des pixels sur tous les niveaux de gris.

Cet algorithme s’appuie sur une référence de remplissage des niveaux de gris qui dépend du nombre de pixel et du nombre de niveau de gris encore à traiter. On traite tout d’abord les pixels appartenant au niveau de gris 0 jusqu’au 255^ème. Si le niveau de gris 0 a trop de pixel par rapport à la référence, on rajoute les pixels en trop sur le niveau de gris 1. Puis on regarde le niveau 1 et on traite jusqu’au 255^ème niveau de gris.

trait pointillé rouge : la référence du nombre de pixel à chaque niveau de gris

Nous testons d’abord l’aplanissement sur une image pathologique dont l’histogramme possède un pic en 0.

Entropie : 3.2423 Entropie : 5.5452

Cet algorithme a permis d’avoir un histogramme presque plat, l’entropie a augmenté.

Le contraste de l’image est amélioré sauf à gauche sur une petite bande qui reste très sombre. La bande reste sombre car elle correspond aux premiers pixels qui forment le pic de l’histogramme de départ et que l’algorithme n’a pas déplacés ou très peu.

L’aplanissement permet d’améliorer le contraste de certaines images dont l’histogramme possède un pic vers 0 mais généralement il détruit l’image et fait des petites bandes de parasites.

Il y a des cas on obtient pas cette bande ou l’image n’est pas modifié, par exemple le damier.

L’image du damier est peu modifiée et il n’apparaît pas cette bande parasite qu’il y a sur les 2 autres exemples. On voit juste que le coté droit de l’image est devenu un peu plus clair.

En conclusion, l’aplanissement d’un pic sur dans les niveau de gris autour de 0 améliore le contraste et crée souvent une bande parasite sur l’image modifiée mais ce n’est pas toujours vrai (exemple du damier).

Pour les images ayant un histogramme relativement plat et étalé sur tous les niveaux de gris, l’aplanissement détériore peu l’image et n’améliore pas le contraste car il y a très peu de déplacement de pixels.

Il n’y a pas de cas général, c’est pourquoi le test sur l’image est obligatoire pour connaître le résultat de cet algorithme. L’aplanissement est un algorithme peu fiable qui fonctionne mal dans la plupart des cas.

Pour améliorer l’aplanissement, il faudrait déplacer les pixels d’un niveau de gris aléatoirement au lieu de prendre les premiers de la liste. Cela éviterait d’avoir une bande parasite plus ou moins grande sur l’image modifiée. L’aplanissement n’étale pas les pixels sur tous les niveaux de gris suivant l’image, c’est pourquoi on va préférer plutôt s’attarder à aplatir l’histogramme, qui donne de meilleurs résultats. Mais voyons avant l’écrêtage.

c) ecrêtage

Cette méthode aussi n’est utile que pour les images pathologiques qui possèdent un histogramme présentant un pic vers 255 si on veut si on veut un étalement des pixels sur tous les niveaux de gris.

Cet algorithme s’appuie sur une référence de remplissage des niveaux de gris qui dépend du nombre de pixel et du nombre de niveau de gris encore à traiter.

On traite tout d’abord les pixels appartenant au niveau de gris du pic proche de 255 jusqu'à 0. Si le niveau de gris du pic a trop de pixel par rapport à la référence, on rajoute les pixels en trop sur le niveau de gris précédent. Puis on traite de la même façon jusqu’au niveau de gris 0.

trait pointillé rouge : la référence du nombre de pixel à chaque niveau de gris

Nous testons d’abord l’écrêtage sur une image pathologique ayant un pic près de 255 dans son histogramme.

Entropie : 1.5660 Entropie : 5.2930

Le contraste de l’image a été amélioré entre le fond et les libellules mais l’image a été très détériorée.

Entropie : 4.7579 Entropie : 5.5452

L’image est détériorée sur une bande assez fine verticale. Du coté droit de cette détérioration l’image n’a pas changé et à droite on obtient le même contraste avec une image beaucoup plus foncé dû au remplissage des niveaux de gris foncé. On retrouve les mêmes symptômes que dans l’aplanissement.

En reprenant l’exemple du damier traité avec l’aplanissement, on se rend compte que l’écrêtage donne le même type de résultat.

Avec l’aplanissement on obtenait le même damier avec des couleurs plus pales à droite de l’image.

Avec l’écrêtage, on obtient le damier peu modifié avec des couleurs un peu plus foncé sur la droite de l’image.

L’écrêtage permet d’améliorer le contraste de certaines images dont l’histogramme a un pic vers 255 mais généralement il détruit l’image et il fait des petites bandes de parasites. Pour les images ayant un histogramme relativement plat et étalé sur tous les niveaux de gris, l’écrêtage détériore peu l’image et n’améliore pas les contrastes.

Il n’y a pas de cas général, c’est pourquoi le test sur l’image est obligatoire pour connaître le résultat de cet algorithme. L’écrêtage est un algorithme peu fiable, et qui fonctionne correctement (meilleur contraste sans abîmer la précision) très peu souvent.

Pour améliorer l’écrêtage, il faudrait déplacer les pixels d’un niveau de gris aléatoirement au lieu de prendre les premiers de la liste. Cela éviterait d’avoir une bande parasite plus ou moins grande sur l’image modifiée. L’écrêtage n’étale pas les pixels sur tous les niveaux de gris suivant l’image, c’est pourquoi on va préférer plutôt s’attarder à aplatir l’histogramme, qui donne de meilleure résultats.

d) transformation en histogramme plat

Nous avons réalisé deux algorithmes qui rendent l’histogramme complètement plat. Le premier (hist_plat) a donné de bon résultat pour très peu d’image. Il fixe une référence de pixels par niveaux de gris, pour tous les niveaux de gris ayant un nombre de pixel supérieur à la référence, il enlève les pixels en trop pour les répartir dans les niveaux de gris ayant un nombre de pixel inférieur à la référence.

trait pointillé rouge : la référence du nombre de pixel à chaque niveau de gris

Nous avons trouvé quelques images où hist_tout_plat fonctionne, par exemple pour cette image de feuilles d’arbres ou les pixels sont concentrés vers le niveau de gris 70 de l’histogramme.

Entropie : 3.2423 Entropie : 5.548

Cet algorithme a amélioré le contraste et n’a pas détruit l’image. Mais il ne fonctionne pas très souvent, c’est pourquoi nous avons réalisé un autre algorithme qui rend l’histogramme plat et qui s’appuie sur un autre principe.

Le 2^ème algorithme pour rendre l’histogramme plat (hist_plat2) donne de meilleurs résultats. En partant du niveaux de gris 0 jusqu’au niveau de gris 255, on remplit les niveaux de gris avec les pixels non traités ayant le plus petit niveau de gris. Donc on remplit les premiers niveaux de gris par les pixels ayant le plus bas niveaux de gris de l’image et on remplit les niveaux de gris élevés par les pixels de l’image ayant les niveaux de gris les plus élevés.

Ce qui amène à rendre plus sombre les parties déjà foncées et à rendre plus clair les parties de l’image déjà claires.

trait pointillé rouge : la référence du nombre de pixel à chaque niveau de gris

L’algorithme fonctionne pour de nombreuses images.

Nous avons tout d’abord essayé avec une image ayant un pic vers 0.

Entropie : 3.8439 Entropie : 5.5412

L’algorithme a augmenté le contraste et n’a pas détruit l’image. Les pixels étaient dans les premiers niveaux de gris et ont été étalés sur tous les niveaux de gris pour obtenir un histogramme plat. L’entropie a considérablement augmenté.

Cet algorithme fonctionne aussi avec un histogramme ayant un pic vers le niveau de gris 255.

Entropie : 4.5709 Entropie : 5.5396

On remarque que pour le pic en 255, l’algorithme améliore aussi le contraste sans abîmer l’image.

Cette algorithme fonctionne aussi pour des images ayant des histogrammes assez étalé et quasiment plat.

Entropie : 4.8626 Entropie : 5.5412

L’algorithme a augmenté le contraste et a très peu détruit l’image.

Pour les images ayant un histogramme quasiment plat, l’image modifiée est semblable à celle de départ car il y a peu de déplacement de pixel donc très peu de changement sur l’image.

Le 2^ème algorithme (hist_tout_plat2) fonctionne avec beaucoup d’images ayant des histogrammes bien différents. Il augmente l’entropie et améliore le contraste dans de nombreuses images sans les détruire.