Principe

Seuillage adaptatif par la méthode des ensembles aléatoires de Friel-Molchanov

Sommaire Introduction Algorithme Résultats Programme

Principe de la méthode

Relation entre les ensembles aléatoires et les niveaux de gris

Le niveau de gris d'une image dans une fenêtre W peut être considéré comme une fonction définie sur W. En pratique la fenêtre W est formée d'une collection de pixels dont le niveau de gris, noté f, varie entre 0 et 255. f est une fonction définie de W vers [0,1] .
Ainsi, pour chaque pixel x appartenant à W, on lui associe un niveau de gris appartenant à l'intervalle [0,1].
Une image à plusieurs niveaux de gris est considérée comme une famille d'ensembles :

Il est clair que Ft devient un ensemble aléatoire si t est une variable aléatoire dans [0,1]. Ainsi, une image déterministe caractérisée par un niveau de gris f, engendre un ensemble aléatoire dont la distribution est déterminée uniquement par la fonction f des niveaux de gris et la variable aléatoire t.
Suivant la distribution que suit la variable t, on aura plusieurs variantes de la méthode.
Deux scénarios sont proposés :

t est uniformément distribuée sur l'ensemble des niveaux de gris: C'est le modèle d'ensembles aléatoires à pondération uniforme.

Deuxième possibilité envisagée est d'adopter l'histogramme de l'image comme distribution de la variable aléatoire t. C'est le modèle d'ensembles aléatoires à histogramme pondéré.

Distance moyenne

La notion d'espérance est fondamentale pour les variables aléatoires, elle l'est aussi pour les ensembles aléatoires.
Il y a différentes approches pour définir l'espérance d'un ensemble aléatoire dans . Le calcul de la distance moyenne en est un exemple.
La détermination de la distance moyenne repose sur l'idée qu'un ensemble aléatoire peut être représenté par sa fonction distance.
Pour chaque ensemble , tous les points de sont classés par leurs positions par rapport à X.
Plusieurs variantes de la fonction distance peuvent être utilisées:

Fonction distance euclidienne : c'est la distance entre et le point le plus proche, c'est à dire:

Fonction distance signée:

où Xc signifie le complément de X dans

Fonction distance quadratique :

Exemple1 :


Image originale binarisée	Transformée distance par la fonction distance Euclidean

Exemple2 :

Image originale Transformée distance par la fonction distance euclidean-metric

Transformée distance par la fonction distance cityblock
(4 connections) Transformée distance par la fonction distance chessboard-metric (8 connections)

X étant un ensemble aléatoire, la fonction distance moyenne est donnée par :

Le calcul de

s'avère difficile parce qu'on doit chercher tous les ensembles X possibles avant de calculer leur moyennes.
La solution adoptée est d'approcher la distance moyenne par une fonction distance.

Pour cela, est divisée en une famille d'ensembles :

Ainsi, la distance moyenne

est l'ensemble

qui minimise :

La norme utilisée peut être l'une parmi les nombreuses normes de l'espace des fonctions. Par exemple :

Pour une fonction h définie sur

Soit:

Distance seuil

La distance seuil choisie est l'ensemble Ft telle que sa fonction distance s'approche le mieux de la distance moyenne .
On suppose que le niveau de gris f dans la fenêtre W varie entre t1, la valeur minimale et t2 , la valeur maximale.
L'algorithme de calcul de la distance seuil est le suivant :

Calculer la fonction distance pour tout niveau de gris t [t1 , t2] et x W.

Calculer pour tous les pixels dans la fenêtre W et où t est une variable aléatoire.

Deux cas de figure se présentent:

- t est distribuée selon une loi uniforme sur [t1 , t2].
- t est distribuée selon la loi de distribution relative à l'histogramme de l'image.

Choisir une norme et évaluer :

pour chaque niveau de gris t [t1 , t2].

L'ensemble Ft qui minimise cette norme est choisi comme la distance seuil.

Sommaire

Mars 2000

Yassine MAMI , Hichem BOUSSETTA


Image originale	Transformée distance par la fonction distance euclidean-metric

Transformée distance par la fonction distance cityblock (4 connections)	Transformée distance par la fonction distance chessboard-metric (8 connections)