Projet MTI  n°23
Sylvain BERNARD
Jean Gervais NDOUTOUMOU  

Stationnariser une  image par fenêtre  glissante
Est-ce que ça peut servir ?

AU MENU :

1. Définition de la stationnarité
2. Application aux empreintes digitales
3. Autres applications possibles

1- Définition de la stationnarité

Soit f(t) un signal, par exemple le cours du dollar.

Pour tout instant t, considérons la tronquature du signal f(t) sur l'intervalle [t , t+S], S fixé. On peut voir cet ensemble de morceaux de signaux comme diverses réalisations d'un processus aléatoire X(s,w) où :

• s est l'indice de temps dans l'intervalle [t , t+S], s=0..S
• w=t est le numéro, l'indice du morceaux.

D'une manière générale, un processus X(a,w) est une fonction aléatoire de la variable a. Les diverses réalisations de X(a,w) constituent donc un ensemble de signaux :

• à w=w1 fixé, X(a,w1) est un signal temporel
• à a=a1 fixé, X(a1,w) est une variable aléatoire.  

Le signal f(t) est stationnaire au sens fort lorsque la loi de { f(t+s) , 0 <=s <= S } ne dépend pas de t.

Le signal f(t) est stationnaire au sens large lorsque :

• ne dépend pas de t.

• c'est à dire que l'intercorrélation entre deux morceaux de signal ne dépend que de leur écart temporel. En particulier lorque t=t', l'autocorrélation du morceaux d'indice t est égale à la variance du signal sur l'intervalle [t , t+S]. Une condition nésessaire à la stationnarité de f(t) est que pour tout t, la variance des X(s,t) soit identique.

Par abus de langage lorqu'on dit d'un signal qu'il est stationnaire, on sous-entend stationnaire au sens large.
 

 2- Application aux empreintes digitales

La saisie d'une empreinte digitale s'effectue en mettant de l'encre sur son doigt puis en l'appliquant sur une feuille de papier. Il arrive assez souvent que certaines parties de l'empreinte soient sous ou sur-encrées, ce qui peut être gênant pour les traitements ultérieurs comme la binarisation.  

La définition précedente nous indique que cette image est non stationnaire. En effet, la moyenne des niveaux de gris, dans une fenêtre de la partie sous-encrée est différente de la moyenne dans une fenêtre d'une partie "normale" de l'empreinte.

Stationnariser une telle image consiste à faire en sorte qu'en tout point (i,j), moyenne m(i,j) et variance moyenne v(i,j) soient identiques égales à M et V. m(i,j) et v(i,j) sont calculées localement sur les niveaux de gris, dans une fenêtre de taille T pixels et centrée autour du pixel (i,j) .

Quelle valeur de M et de V va-t-on imposer ?

• on peut prendre pour M et V, la moyenne et la variance moyenne des niveaux de gris sur toute l'image.
• on peut, dans l'objectif de normaliser (un peu !) toutes les images d'une base de donnée, fixer M et V indépendamment de l'image. Nous avons choisi 128 (valeur moyenne entre le noir extrème codé par 0 et la blanc extrème codé par 255) pour M et 100 pour V.

Remarque : Rares sont les images de notre environnement quotidien qui sont directement stationnaires. Certaines textures, comme les tissus, peuvent l'être; essentiellement les textures artificielles créées sur ordinateur, car leur procédé de construction respecte la condition de stationnarité.
 

a - Stationnarité au premier ordre :

En tout pixel de l'image de coordonnées (i,j) et d'intensité f(i,j), on calcule l'intensité moyenne m(i,j) des niveaux de gris dans une fenêtre F de taille T centrée autour de ce point.

L'intensité f(i,j) est remplacée par g(i,j):

g(i,j) = f(i,j) - m(i,j) + M

En tout point, on regarde quelle est l'intensité du point par rapport à son environnement local. Son environnement local est caractérisé, ici, uniquement par la moyenne des intensité de ses voisins.

Résultat avec une fenêtre de taille 32

M=128

b- Stationnarité au second ordre 

En tout point (i,j) de l'image, on calcule la variance moyenne locale v(i,j) des niveaux de gris dans une fenêtre F de même taille T centrée autour de (i,j).

L'intensité f(i,j) est remplacée par h(i,j) :

Résultat avec une fenêtre de taille 32
M=128 et V=100
 

Points positifs :

• l'objectif qui était de réhausser la partie sous-encrée a été atteint.

Points négatifs :

• même les bords qui ne constituent pas de "l'information empreinte" ont été rehaussés
• l'algorithme n'est pas très rapide : 46 s sur PC Pentium 75 MHz. Il est cependant possible de réduire ce temps, en diminuant le nombre d'opérations : pour le calcul de m(i,j) et m(i+1,j) beaucoup d'additions sont communes. 

Mais ce traitement a modifié considérablement l'image originale. Montrons sur un exemple qu'il ne dégrade pas une image "normale", ne contenant pas de parties sur ou sous-encrées.

 Points positifs :

• L'image n'est pas dégradée au sens que les informations importantes de l'empreinte : ses lignes de crêtes, ses fins de lignes et ses bifurcations de lignes, n'ont absolument pas été détruites.
• Grâce au traitement sur la variance, les lignes de crête et les vallées ont été étirées : l'image est plus contrastée, les lignes de crêtes sont plus noires et les vallées plus blanches. Ceci peut faciliter l'étape ultérieure de binarisation.

Points négatifs :

• On remarque qu'entre les points situés en bordure de l'empreinte et ceux situés bien à l'intérieur de celle-ci, le résultat diffère. Pour un point proche du bord, la fenêtre est suffisamment large pour contenir une transition entre le bord très blanc et l'empreinte. La variance moyenne sera donc forte dans cette fenêtre relativement à une fenêtre qui n'intersecte pas le bord. Le résultat du traitement sur la variance sera donc moins contrasté pour les points proches du bord (variance moyenne locale au dénominateur de h(i,j)).

c-Influence de la taille de la fenêtre :

Ce paramètre est très dépendant de l'image à traiter.

Dans le cas des empreintes digitales, la largeur des lignes de crêtes étant de l'ordre de 4 à 7 pixels, prendre des fenêtres de taille plus grande que 8 donne de meilleurs résultats.

Plus la taille de la fenêtre est grande, plus le temps de calcul est élevé. Pour les empreintes, une fenêtre de taille 16 est un bon compromis.

3- Autres applications possibles

Cette méthode peut s'appliquer par exemple :

• dans le cas d'une photographie aérienne d'un immense champ de blé, une partie de l'image étant entâchée d'un nuage. Ce nuage ne serait pas complètement opaque mais laisserait  entrevoir de l'information provenant du champs.
• dans le cas d'une photo-aérienne du Sahara, une partie de l'image étant entâchée par l'ombre de l'avion.