Le filtre géométrique est-il meilleur que le filtre inverse ou que le filtre de Wiener ?

Martin Gaume, Olivier Crave

Master MVA
2004-2005

1. Introduction

L'objectif de la restauration d'images est de réduire voire supprimer les effets des dégradations des images. Ces dégradations peuvent venir d'un flou de déplacement, de la présence de bruit, d'une mauvaise mise au point, des perturbations atmosphériques... Dans le cas d'un flou de déplacement seul, nous verrons qu'il est possible de retrouver l'image d'origine. Par contre, si du bruit est présent, le mieux que nous puissions espérer est une diminution des effets des dégradations. Notre étude porte sur la comparaison de trois méthodes de restauration d'images : le filtre inverse, le filtre de Wiener et le filtre géométrique. Ce dernier est une combinaison géométrique des deux premiers.

L'amélioration d'image est effectuée par des méthodes qui ne connaissent pas les dégradations sur les images. Ce n'est pas le cas de la restauration. Ici, les dégradations sont connues et peuvent être modélisées de la façon suivante :

Le modèle de dégradation

Figure1

Les filtres de restauration permettent de retrouver l'image initiale à partir d'une image préalablement bruitée et dégradée par un opérateur linéaire (voir Figure 1).

On écritoù g est l'image obtenue après une dégradation par un filtre passe-bas h (une convolution par une fonction h) sur l'image d'origine f suivie d'un ajout de bruit b. g est l'image que l'on veut restaurer.

En pratique, on connait la réponse impulsionelle et certains paramètres du bruit comme la puissance spectrale ou bien la variance du bruit s'il est de type gaussien par exemple.

Pour nos expérimentations, nous avons utilisé deux types de réponses impulsionelles : un flou directionnel et un filtre de moyenne.Le flou directionnel apparaît lorsque le temps d'exposition de l'appareil de prise de vue est trop faible. Les déplacements des objets observés ne sont plus négligeables : on observe alors la moyenne des points de l'objet suivant la direction de déplacement. Nous avons implémenté ce flou dans deux directions, verticale et horizontale. Cette opération consiste en la convolution de l'image avec une matrice k-ligne ou k-colonne h :

ou .

Le filtre de moyenne est reproduit en convoluant l'image avec un masque ne comptant que des 1, de cotés k. Il peut s'obtenir en effectuant successivement deux flous directionnels dans des directions orthogonales.

Le bruit utilisé est un bruit blanc gaussien de variance.

Pour évauler les images résultatntes, nous avons calculé le PSNR et le MSE. Le « Peak Signal-to-Noise Ratio » (PSNR) est calculé à partir de l'erreur quadratique moyenne (MSE) :

où M et N sont les dimensions horizontale et verticale de l'image,etsont respectivement les valeurs du pixel à la position (m, n) pour l'image intiale et pour l'image restaurée. Le PSNR dont l'unité est le dB (décibel) a pour équation : Une valeur faible du MSE signifie qu'il y a très peu de différence entre les deux images comparées. Comme le PSNR est calculé à partir de l'inverse du MSE, logiquement, plus la valeur du PSNR est faible et plus les images diffèrent.

Pour nos tests, nous avons utilisé une photographie de Lenna de taille 512x512.