Figure 1 Masques de convolution des operateurs de Prewitt (k=1) et de Sobel (k=2)
Les operateurs de Sobel et de Prewitt permettent d'estimer localement la norme du gradient spatial bidimensionnel d'une image en niveau de gris. Ils amplifient les regions de fortes variations locales d'intensite correspondant aux contours.
Ces operateurs consistent en une paire de masques de convolution 3x3 de type ci dessous. Une rotation de 90° permet de passer d'un masque a l'autre.
Figure 1 Masques de convolution des operateurs de Prewitt (k=1) et de Sobel (k=2)
L'operateur de Prewitt est defini pour une valeur de k=1 et Sobel pour k=2. Ces masques sont concus pour repondre maximalement aux contours horizontaux et verticaux.
L'application separee de chacun des masques donne une estimation des composantes horizontales et verticales du gradient, notees respectivement 
et 
par un simple filtrage lineaire avec un masque 3x3.
Il est ensuite possible de calculer la norme et la direction du gradient en chaque point a partir des composantes et . La norme du gradient en chaque pixel est donnee par la relation:
Bien qu'elle soit souvent approchee par la formule:
plus rapide a calculer. La norme du gradient ainsi estimee correspond a l'intensite attribue au pixel courant. C'est donc l'image de la norme du gradient que l'on visualise generalement.
L'angle d'orientation du gradient est fourni par la relation:
La formule ci dessus peut s'interpreter comme suit: la direction du contraste maximal du noir au blanc avec une analyse de gauche a droite de l'image correspond a l'orientation 0 de reference. Tous les autres angles sont mesures a partir de cette orientation dans le sens trigonometrique.
Nous nous contenterons d'etudier le filtrage effectue par application d'un seul masque de convolution, par exemple . On s'interesse donc a l'estimation locale du gradient horizontal (et donc a la detection des contours verticaux).
Le calcul de la transformee en Z bidimensionnelle de la reponse impulsionnelle du filtre donne:
On remarque qu'elle est separable.
La reponse en frequence des filtres H1 et H2 est donnee par:
filtrer l'image par equivaut donc a la succession des deux filtres suivants:
- un filtre integrateur (passe bas) de masque [1 k 1] dans la direction verticale.
- un filtre derivateur (passe haut) de masque [1 0 -1] dans la direction horizontale (qui correspond a l'approximation du gradient horizontal sur un voisinage de trois pixels).
Conclusion:
Les operateurs de Sobel et de Prewitt combinent un leger filtrage passe bas le long des lignes et des colonnes (ponderation de poids [1 k 1], k=1,2) et un filtrage passe haut du type gradient (changement de signe des poids). Ils appartiennent a la famille des detecteurs de contours directionnels car la norme du gradient en chaque point est approchee en ne considerant que les changements d'intensite dans deux directions specifiques (horizontales et verticales).