Dans cette approche on cherche à éliminer tous les minima non-significatifs de l'image gradient. En ce sens on cherche donc d'une certaine manière à moyenner localement l'image. Alors qu'avec l'approche marqueur on cherche à remplacer les minima du gradient par des images de marquages, ici on va plutôt chercher à supprimer les minima non-significatifs dans l'image elle-même.

  • Diffusion gaussienne (linéaire)

Nous avons vu qu'une des principales sources du phénomène de sur-segmentation est le bruit présent dans les images naturelles. Afin de pallier à ce bruit on opère un moyennage spatial à l'aide d'un filtre gaussien.

Soient U(x) le niveau de gris en un point x de l’image à traiter et Gs la gaussienne d’écart type s donnée par la formule suivante :

Le filtrage gaussien de l'image résulte de la convolution de cette fonction avec des gaussiennes en chaque point de l'image :

Cette convolution est une opération régularisante. En pratique, cette régularisation de U permet de lisser de manière grossière, en affaiblissant l’information qui présente des variations spatiales sur des échelles inférieures à s.

Un inconvénient évident du filtrage gaussien est qu’il ne lisse pas uniquement le bruit, mais il gomme aussi les contours, les rendant difficilement identifiables.

Observons l'influence d'un tel filtrage sur les images lena, et sur l'image afmsurf. Les images sont lissée avec une gaussienne de dimension 10 pixels et d'écart-type de 10.

a) Image lissée
b) LPE sur l'image lissée

 

a) Image lissée
b) LPE sur l'image lissée

 

La détection de contours obtenue reste très sursegmentée, même s’il existe une amélioration quand le gradient est calculé sur l’image lissée. Le gradient est toujours meilleur s’il est calculé sur une image lissée par diffusion linéaire.

 

  • Filtre alterné-séquentiel (morphologique)

    Ce filtre est un filtre morphologique qui consiste à faire une succession d'ouvertures et de fermetures par des sphères de rayons croissants.

    Plus précisément, en désignant par f l'image considérée, la boucle itérée de base du Filtre Alterné Séquentiel (ASF) est définie par :

    ASF(f) = ouverture(fermeture ( f ))

    On remarquera que la première opération est une fermeture afin de privilégier la suppression des minima sur-numéraires.

    Les paramètres sont : la taille de l'élément structurant avec lequel on effectue les opérations morphologiques mais aussi le nombre d'itérations.

On utilisera pour l'élément structurant du gradient un cercle de diamètre 5 pixels (pour des images de dimensions d'env. 500 pixels) et un élément structurant de même type de taille initiale 3 pour le FAS. Nous visualiserons les résultats sur les images afmsurf et lena.

a) Image lissée
b) LPE sur l'image lissée

 

a) Image lissée
b) LPE sur l'image lissée

Ce filtrage réduit sensiblement la sur-segmentation originelle mais ses performances restent néanmoins en deça des autres prétraitements déjà testés.

  • Filtre non linéaire : Modèle de Malik et Perona

Pour résoudre les problèmes issus d'une diffusion isotrope, la première idée de diffusion anisotrope a été proposée par Malik et Perona [Perona 90]. La motivation essentielle de l’utilisation de modèles basés sur la diffusion est la construction d’un opérateur de diffusion dépendant des propriétés locales de l’image. L'idée est de créer un filtre qui conserve voire rehausse les contours et qui floute les zones à faible gradient.

Le filtre de Malik et Perona est basé sur l’équation suivante :

C'est une équation de diffusion qui serait standard s'il n'y avait pas la présence de la fonction g. L'idée véhiculée par cette fonction est que le traitement obtenu par l'équation précédente est conditionnel en chaque point de l'image. On définit donc cette fonction de telle manière que la diffusion soit forte dans les zones à faible gradient et faible dans les zones à fort gradient. La diffusion est conditionnelle. La fonction g peut être définie de la manière suivante :

ou bien encore :

Le lissage non linéaire de Malik et Perona a l’avantage de constituer des zones plates dans l’image, même quand le contraste est faible. La fonction d’arrêt du processus contient le paramètre k. Ce paramètre correspond à la hauteur des contours à préserver. Ce filtre diminue la sur-segmentation résultante de l’application de méthodes de détection de contours comme la Ligne de Partage des Eaux (LPE).

Ce type de filtrage est particulièrement intéressant lorsque les images à analyser sont bruitées. En effet le bruit induit de multiples bassins versants non-significatifs. Un moyen aisé de les supprimer est d'effectuer un filtrage passe-bas. Ce filtre, comme nous l'avons vu précédemment, a l'inconvénient d'atténuer les contours. C'est pourquoi on utilise un filtre non-linéaire.

Observons l'effet d'un tel filtre sur la LPE d'une image bruitée (bruit blanc). Nous avons choisi pour cet exemple l'image lena (512x512 - 256 niveaux de gris). Nous pourrons observer l'effet du filtre sur les plumes, le haut de chapeau au contraste très proche du fond mais aussi sur les différents contours très marqués dans cette image.

La fonction que nous avons utilisée est la fonction exponentielle, le nombre d'itération est 10, le coefficient k est choisi égal à 15. La diffusion de Malik et Perona donne des zones plates et assure que les informations gardées ont une certaine pertinence.

    a) Image initiale - bruitée
    b) Gradient de l'image initiale
    c) LPE calculée avec le gradient

 

    d) Image lissée par diffusion
    e) Gradient de l'image lissée
    f) LPE calculée avec le gradient

 

Concernant l'image filtrée, on observe que les différents contours ont bien été préservés, à l'exception des contours situés dans des zones à faible gradient comme le haut du chapeau et qui ont donc été diffusées. L'image gradient permet de vérifier que l'amplitude du gradient n'a pas dimimué alors que l'effet du bruit a été supprimé. Ce qui peut se vérifier sur la LPE calculée avec le gradient de l'image lissée par diffusion non-linéaire (Figure f). La LPE demeure malgré tout très sur-segmentée.