Sommaire

 Généralités 

Analyse multirésolution

Les algorithmes pyramidaux

Les ondelettes à support compact

Ondelettes non séparables

Ondelettes Séparables

Applications

Bibliographie

Construction d'une analyse multirésolution

^{1 Principe de l'analyse espace - échelle ou analyse multirésolution}

^{On veut trouver une base orthonormale d'ondelettes dans laquelle il sera possible de décomposer le signal appartenant à ( est l'espace des réels). Pour cela, on peut utiliser l'analyse multirésolution dans . Une telle analyse consiste à décomposer le signal sur une gamme très étendue d'échelles,opération que l'on peut comparer à une cartographie. A chaque échelle, le signal sera remplacé par l'approximation la plus adéquate que l'on puisse y tracer. En allant des échelles les plus grossières vers les échelles les plus fines, on accède à des représentations de plus en plus précises du signal donné. L'analyse s'effectue en calculant ce qui diffère d'une échelle à l'autre, c'est-à-dire les détails à une résolution donnée. Ceux-ci permettent, en corrigeant une approximation encore assez grossière, d'accéder à une représentation d'une qualité meilleure.}

^{Les ondelettes correspondent à des degrés de résolutions: elles sont définies par la différence entre 2 fonctions échelles consécutives. Elles permettent de représenter les détails gagnés lors du passage d'une échelle à l'échelle plus petite suivante.}

2 Définition

^{La méthode AMR donne toutes les bases d'ondelettes connues à ce jour. L'AMR de l'espace des fonctions de carrés sommables consiste à le découper en une suite croissante de sous-espaces vectoriels fermés . Ces sous-espaces ont un certain nombre de propriétés : ils forment une suite emboîtée, leur intersection est réduite à et leur réunion est dense dans . Chaque sous-espace est l'ensemble de toutes les approximations possibles d'un même signal à l'échelle associée au sous-espace. Le signal à analyser sera approximé par une succession de projections orthogonales sur les sous-espaces .}

^{Il faut à présent trouver une base engendrant .}

Soit la fonction appartenant à telle que , () soit une base orthonormée dans . La fonction est appelée fonction d'échelle ou fonction d'interpolation.

Soit le sous-espace vectoriel engendré par , (). est défini à partir de par simple changement d'échelle :

pour toute fonction de .

De plus, l'ensemble des fonctions est une base de . L'échelle associée à la résolution est . Le choix d'un facteur 2 correspond à une analyse dyadique. Si on pose : , alors la famille engendrée par translation (paramètre ) et par dilation (paramètre ) de est encore une base orthonormale de .

La projection de sur , appelée , s'écrit sous la forme :

Le passage d'une résolution à une résolution plus fine se fait en projetant la fonction appartenant à sur le sous-espace .

Or peut s'écrire sous la forme :

D'où, après un changement de variable adéquat :

Si , on a :

Pour son algorithme, Mallat considère une suite croissante de grilles emboîtées qui va de la grille la plus fine à la grille la plus grossière. Le signal à analyser est échantillonné sur la grille fine. Étant donné un signal original discret (avec ) son approximation (avec ) est obtenue par convolution de et du filtre de réponse impulsionnelle précédemment décrit en gardant un échantillon sur deux à la sortie du filtre. Cette procédure est itérée un certain nombre de fois.

Il est possible d'associer à h, précédemment décrit, un filtre discret H dont il est la réponse impulsionnelle. Si la transformation de Fourier discrète de ce filtre est notée , alors doit vérifier les relations suivantes :

La transformée de Fourier de la fonction échelle associée au filtre est alors donnée par :

Le signal original est donc filtré par une suite de filtres passe-bas en cascade dont la fréquence de coupure décroît de moitié lorsque l'on passe de la résolution j+1à la résolution j.

où W_j est le sous-espace complémentaire de V_j dans V_j+1. est donc orthogonal à W, pour tout k différent de j.

Pour calculer la projection d'une fonction f(x) sur W_j, il faut définir une fonction y(x), appelée ondelette, telle qu'une base de West construite à partir de la translation et dilatation de y(x).

Exemple: