Sommaire

 Généralités 

Analyse multirésolution

Les algorithmes pyramidaux

Les ondelettes à support compact

Ondelettes non séparables

Ondelettes Séparables

Applications

Bibliographie

Les ondelettes à support compact

L'intérêt des ondelettes à support compact est de permettre l'analyse de  distributions arbitraires sans se préoccuper de la décroissance à l'infini. 

1.Théorie sur les ondelettes à support compact

1. Moments nuls.

Une ondelette a m moments nuls si et seulement si sa fonction d'échelle restitue les polynômes de degré inférieur ou égal à m. Alors que cette propriété sert, pour les fonctions d'échelle, à décrire les capacités des analyses multirésolutions à approximer des signaux réguliers, du point de vue des ondelettes elle permet de caractériser une propriété "duale", c'est-à-dire l'ordre des singularités d'un signal. Le nombre de moments nuls est entièrement déterminé par les coefficients h[n] du filtre h intervenant dans l'équation d'échelle. Si la transformée de Fourier de l'ondelette est p fois différentiable, les trois conditions suivantes sont équivalentes:

2. Support compact

Il existe des ondelettes et des fonction d'échelle à support compact. La fonction d'échelle est à support compact si et seulement si le filtre h est à support fini, et leurs supports sont identiques. Si le support de la fonction d'échelle est [N₁,N₂], le support de l'ondelette est [(N₁-N₂+1)/2,(N₂-N₁+1)2].

Daubechies a montré que, pour avoir une ondelette orthogonale à p moments nuls, il faut utiliser un filtre h de longueur au moins 2p. Les filtres de Daubechies, correspondant aux ondelettes de Daubechies, sont de longueur 2p et sont un exemple célèbre des ondelettes à support compact.

2. Les ondelettes à support compact d'Ingrid Daubechies

  La théorie des ondelettes à support compact a été publiée par Ingrid Daubechies en 1988. Plutôt que de construire la base orthonormée des ondelettes Y à partir d'une fonction échelle f, la construction s'effectue essentiellement à partir de la connaissance de la grandeur h(n) satisfaisant l'équation :

| h(n)|² + | h(n+1/2)|² =1

 Toutes les solutions de cette équation n'engendrent pas de bases d'ondelettes intéressantes. Nous donnons ici les principales idées qui supportent cette construction. Les bases orthonormales construites n'ont pas d'expression analytique simple. Leur approche est purement numérique. Pour s'en convaincre, il suffit de regarder les courbes ci-dessous représentant ces ondelettes.

Ondelette de Daubechies:

 Construction de h(n) :

 Pour construire des ondelettes Y à support compact, nous allons partir de la fonction d'échelle f dont la famille {f(t-k)}_kÎZ orthonormée est une base de V₀. On suppose de plus que les f sont à support compact. En considérant que V_-1  ÌV₀, et en décomposant f(t/2) sur la base {f(t-k)}_kÎZ , on a :

½ f(t/2) = S a_k f(t-k), où a_k = f(t-k) f(t/2) dt,

 Puis en passant dans le domaine fréquentiel, en notant h(n)=S a_k e^-2ipkn, l'orthogonalité de la famille {f(t-k)}_kÎZ implique la relation :

 | h(n)|² + | h(n+1/2)|² =1

Il est important d'avoir des fonctions échelles et des ondelettes ayant un maximum de régularité. Nous admettons le théorème suivant :

Si g et g' sont deux fonctions non nulles telles que <g_jk , g'_lm>= d_jl d_km,

avec g_jk  (t)=2 ^j/2 g(2^jt-k)  et  g'_lm (t)=2 ^l/2 g(2^lt-m).

Et supposons que

i) |g'(t)| £ C(1+|t|)^-a   a>m+1

ii) g Î C^m avec g⁽ⁿ⁾ borné pour n £ m,

alors les moments sont tels que tⁿ g'(t) dt =0, pour n=0 ,1,2…m

On peut alors appliquer ce théorème avec g=g'=y. Ainsi, si y_jk  (t)=2 ^j/2 y (2^jt-k) est une base orthonormée de L²(Â), avec y|(t)| £ C(1+|t|)^-m-1, et y Î C^m et y⁽ⁿ⁾ bornés pour n=0 ,1,2…m alors tⁿ y(t) dt =0, pour n=0 ,1,2…m.

Dans ce cas, et avec l'hypothèse supplémentaire f(t)| £ C(1+|t|)^-m-1, h(n) peut se factoriser sous la forme h(n)=((1+ e^-2ipn)/2)^m+1 Q(n) où Q Î C^m et est 1-périodique.

Pour des fonctions d'échelle f à support compact, on montre ainsi que h(n) est un polynôme trigonométrique. Si h(n)=((1+ e^-2ipn)/2)^N Q(n), on pose H(n) = | h(n)|² = (cos²pn)^N |Q(n)|², et si on note P=|Q|², qui peut s'exprimer en termes de (cos²pn) ou de  (sin²pn), alors P est solution de l'équation :

 Y^NP(1-Y) + (1-Y)^NP(Y)=1

 En résumé, on recherche un polynôme trigonométrique h(n)=S a_k e^-2ipkn  où les a_k sont réels. Afin d'obtenir un maximum de régularité, on cherche h(n) sous la forme h(n)=((1+ e^-2ipn)/2)^N Q(n) où Q(n) est un polynôme trigonométrique à coefficients réels. h(n) doit être solution de l'équation

| h(n)|² + | h(n+1/2)|² =1

  Lorsque h(n) est déterminé, on définit f et y  par : 

TF(f)(n) = P_j³1 h(2^-jn) , TF(y)(n)=e^-ipn (h((n+1)/2))* TF(f)(n/2).

Alors f et y sont des fonctions de L²(Â) à support compact satisfaisant :

f(t) = 2 S a_k f(2t-k) , y(t)=2S (-1)^k a_1-k f(2t-k).