Sommaire

 Généralités 

Analyse multirésolution

Les algorithmes pyramidaux

Les ondelettes à support compact

Ondelettes non séparables

Ondelettes Séparables

Applications

Bibliographie

Les algorithmes pyramidaux

1. Pourquoi des algorithmes pyramidaux ?

La première étape de ces algorithmes consiste à séparer le signal en deux composantes, une composante lisse qui donne l'allure générale du signal et une composante qui en fournit les détails. L'image lisse est le signal tel qu'on le voit à la moitié de la résolution la plus fine : avec deux fois moins d'échantillons. On obtient cette image à l'aide d'un filtre passe-bas qui correspond à la fonction échelle. Les détails s'obtiennent en utilisant un filtre passe-haut. Ils permettent de reconstituer le signal initial à partir de l'image lisse.

La deuxième étape consiste à répéter la procédure sur le signal à une résolution moitiée. On sépare ce signal lissé en deux parties : un signal encore plus lissé (vu à un quart de la résolution du signal initial) et de nouveaux détails deux fois plus grands que les précédents. Pour cela, on dilate d'un facteur 2 la fonction échelle et l'ondelette. On réitère ensuite la procédure (voir plus loin l'application aux images).

2. Décomposition

Soient g et h des filtres miroirs conjugués. Les filtres miroirs conjugués sont un cas particulier des bancs de filtres à reconstitution parfaite. La nature dyadique de l'approximation multirésolution est étroitement liée à la possibilité d'opérer des sous-échantillonnages élémentaires du signal par suppression d'un terme sur deux, et des sur-échantillonnages élémentaires par insertion d'un zéro tous les deux coefficients.

Le calcul des coefficients a₁ [n] et d₁ [n] d'un signal dans V_j et W_j à partir de ses coefficients a₀[n] dans V_j-1 se fait par application des filtres miroirs conjugués puis par un sous-échantillonnage:

en posant h₁[n] = h[-n] et g₁[n] = g[-n].

Les coefficients de h sont donnés par l'équation d'échelle

c'est-à-dire, dans le domaine fréquentiel:

et les coefficients de g sont donnés par l'équation d'échelle sur l'ondelette:

soit, dans le domaine fréquentiel:

En pratique, cette récurrence est initialisée en assimilant les échantillons du signal aux coefficients de résolution la plus fine.

Inversement, la reconstruction de a₀[n] à partir de a₁ [n] et de d₁ [n] se fait en insérant un zéro entre chaque échantillon puis en faisant la somme des convolutions avec h et g:

où l'opérateur z représente l'insertion de zéro.

Décomposition

3. Application aux images

A^d_2^j+1 f en A^d_2^j f, D¹_2^j f, D²_2^j f, D³_2^j f , où :

A^d_2^j f = ((f(x, y)* f_2^j (-x) f_2^j (-y))(2^-jn,2^-jm)) pour (m, n) appartenant à Z²   (1)
D¹_2^j f = ((f(x, y)* f^j (-x) y^j (-y))(2^-jn,2^-jm)) pour (m, n) appartenant à Z²   (2)
D²_2^j f = ((f(x, y)* y_2^j(-x) f_2^j(-y))(2^-jn,2^-jm)) pour (m, n) appartenant à Z²   (3)
D³_2^j f = ((f(x, y)* y_2^j(-x) y_2^j(-y))(2^-jn,2^-jm)) pour (m, n) appartenant à Z²   (4)

On convolue d'abord les colonnes de A^d_2^j+1 f avec un filtre à une dimension, on garde toutes les autres colonnes, on convolue les colonnes du signal résultant avec un autre filtre à une dimension, on retient les autres colonnes. Les filtres utilisés dans cette décomposition sont les  filtres miroir en quadrature H et G. On itère le procédé ci-dessus en faisant varier j . Ceci correspond à une décomposition  en filtres miroirs conjugués séparables. Les coefficients d'ondelettes ainsi obtenus ont une grande amplitude au voisinage des contours et dans les textures selon une orientation spatiale donnée.
Les expressions (1)-(4) montrent qu'en deux dimensions A^d_2^j f  et  D^k_2^j f  sont calculés à l'aide de filtres séparables selon les abscisses et les ordonnées. La décomposition en ondelettes peut alors être vue comme la décomposition d'un signal en un ensemble de bandes de fréquences orientées dans l'espace. f(x) peut être considéré comme un filtre passe-bas parfait et y comme un filtre passe-bande. La décomposition de A^d_2^j+1 f est telle que :
    - A^d_2^j f correspond aux basses fréquences,
    - D¹_2^j f donne les hautes fréquences verticales (contours horizontaux),
    - D²_2^j f donne les hautes fréquences horizontales (contours verticaux),
    - D³_2^j f  donne les hautes fréquences dans les deux directions (les coins),
Cette décomposition est illustrée dans la figure ci-dessous :

4. Reconstruction

Le signal de départ peut être reconstruit à partir de sa pyramide. Puisque et sont complémentaires dans , alors forment une base orthogonale de . On peut donc décomposer au point sur cette base :

Soit encore (après changement de variables) :

où et sont les filtres duaux de et de , tels que et . Le passage d'une résolution à une autre se fait en prenant le produit scalaire :

ce qui s'écrit aussi :

La fonction est donc reconstruite en mettant des zéros entre chaque échantillon de et de et en convoluant les signaux obtenus par les filtres et respectivement.