ondelette de Daubechies |
PROJET Traitement Numérique des imagesProjet nº 19 : Bases d'ondelettes
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Sommaire Généralités
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Ondelettes continues |
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Résolution en temps et en fréquences |
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Inversion de la transformée en ondelettes |
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Transformations en ondelettes discrètes |
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Principe de l'analyse espace - échelle ou analyse multirésolution |
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Définition |
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Pourquoi des algorithmes pyramidaux ? |
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Décomposition |
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Application aux images |
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Restitution |
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Théorie sur les ondelettes à support compact |
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Les ondelettes à support compact d'Ingrid Daubechies |
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Les ondelettes isotropes |
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Les ondelettes anisotropes |
On peut désigner comme ondelette réelle une fonction de R dans R dont la transformée de Fourier vérifie certaines conditions de régularité et de localisation. Il en résulte diverses propriétés, dont la localisation de la fonction elle-même (i.e. négligeabilité en dehors d'un intervalle compact), et une moyenne nulle (d'où le nom d'ondelette, en raison des oscillations assurant cette propriété). Les propriétés des ondelettes en traitement du signal sont à la fois proches et complémentaires de celles des fonctions sinusoïdales à la base de l'analyse de Fourier. On peut ainsi décomposer tout signal (suffisamment régulier) sur des bases d'ondelettes obtenues par dilatation et translation d'une seule et même ondelette, dite ondelette mère. La théorie de la décomposition en ondelettes permet même d'exhiber des bases d'ondelettes orthonormales, à support compact, ... 14:25 30/03/00
Soit une fonction y
appartenant a
L²(Â) et
TF(y)
sa transformée de Fourier satisfaisant la condition d'admissibilité :
Alors y est appelée une ondelette mère. Et on appelle transformée en ondelette, la transformation intégrale qui à toute fonction f appartenant a L²(Â) fait correspondre la fonction Wf(a,b) définie par :
Avec b appartenant a
R, a appartenant a
R-{0}
A partir de l'ondelette mère, on construit toute une famille d'ondelettes y((t-b)/a) obtenues par dilatation (coefficient a) et translation (coefficient b) de y. On désignera chaque élément de cette famille par :
La transformée en ondelette
peut alors être définie par le produit scalaire suivant :Wf(a,b)=<
yab
,f >.On a par ailleurs, la condition suivante : TF(y(0))=0
ó
si
, la fonction y(t)
oscille et s'amortit, d'où le nom d'ondelette.
| En temps. Si on désigne par tc le centre de la fenêtre temporelle caractéristique de l'ondelette mère et Dt son rayon, alors yab(t) possède un centre tc'=b + atc et un rayon Dt' = aDt. D'où pour un signal f(t), la transformée en ondelette : Wf(a,b)=< yab ,f > donne des informations d'une partie du signal f(t) dans la fenêtre de largeur [b+atc-aDt, b+atc+aDt]. On peut remarquer que la longueur de cet intervalle 2aDt varie avec le paramètre de dilatation a. |
| En fréquences. Si on désigne par nc le centre de fréquence et Dn le rayon, alors TF(yab (an)) a pour rayon Dn/a. De plus, la transformation en ondelette donne des informations sur le spectre TF(f) dans la fenêtre de fréquences [(nc - Dn)/a , (nc + Dn)/a ]. Par ailleurs, si on prend nc >0,on peut voir cette fenêtre comme une bande de fréquences centrée à nc/2 et de largeur 2Dn/a. Cette identification indique que le rapport centre de fréquence sur largeur de bande est une constante indépendante de a et uniquement reliée aux caractéristiques de l'ondelette mère. Ce rapport est dénommé surtension. |
On peut donc représenter dans le plan temps-fréquence, la fenêtre de résolution des ondelettes : [b+atc-aDt, b+atc+aDt] [(nc - Dn)/a , (nc + Dn)/a ]. Cette fenêtre se rétrécit pour détecter les hautes fréquences (a<1) et s ‘élargit pour analyser les basses fréquences (a>1). On remarque que la relation d'Heisenberg est vérifiée, c'est-à-dire que Dt Dn reste supérieure ou égale à 1/4p.
Il faut tout d'abord remarquer qu'en traitement du signal, on ne considère généralement que des fréquences positives. Si le centre est aussi positif, on peut ne considérer que des valeurs positives du paramètre de dilatation :dans la reconstitution de f à partir des ondelettes, on a à utiliser seulement les valeurs de a>0 dans Wf(a,b)=< yab ,f >. La condition d'admissibilité devient alors :C/2 < 0.
On a alors, le théorème suivant :
Soit y une ondelette mère satisfaisant la condition d'admissibilité :
.
Alors pour tout f,g appartenant a L²(Â).
Et pour tout f appartenant a
L²(Â)
et x appartenant a
Â
où f est continue, on a la formule d'inversion
:
.
avec la condition d'admissibilité :
Pour des raisons de commodité, en vue de la discrétisation du problème, nous allons restreindre les valeurs du coefficient de dilatation a aux valeurs positives. Comme on le fait aussi souvent en théorie du signal, on supposera que les fréquences v sont aussi positives. Cela simplifiera ainsi la discussion. Dans ces conditions, les formules établies précédemment deviennent :
a>0, v>0,
La famille d'ondelettes discrétisées
où j et k sont éléments de Z définit la transformation en ondelettes discrètes par la formule :
