Sommaire

 Généralités 

Analyse multirésolution

Les algorithmes pyramidaux

Les ondelettes à support compact

Ondelettes non séparables

Ondelettes Séparables

Applications

Bibliographie

Ondelettes Séparables

Soit f(x) la fonction échelle mono-dimensionnelle de l’approximation multirésolution (AMR).
La méthode la plus simple pour engendrer des bases d'ondelettes en dimension 2 consiste à faire des produits tensoriels sur des ondelettes et des fonctions d'échelle en dimension 1. La fonction d'échelle 2D, séparable, obtenue est

et il y a alors trois ondelettes:

Avec une AMR séparable, une grande importance est donnée aux directions horizontale et verticale dans l’image. Pour de nombreux types d’analyse, cette sélectivité est utile.

 En pratique, la transformée est calculée en appliquant un banc de filtre à l’image I(x, y) comme suit:

 A_n(b_i,b_j)  =  [H_x*[H_y*A_n-1]_¯2,1] _¯1,2 (b_i,b_j)

D_n1(b_i,b_j) =  [H_x*[G_y*A_n-1]_¯2,1] _¯1,2 (b_i,b_j)

D_n2(b_i,b_j) =  [G_x*[H_y*A_n-1]_¯2,1] _¯1,2 (b_i,b_j)

D_n3(b_i,b_j) =  [G_x*[G_y*A_n-1]_¯2,1] _¯1,2 (b_i,b_j)

‘*’ est l’opérateur de convolution, _¯2,1 (_¯1,2) représente le sous-échantillonnage le long des lignes (des colonnes), A₀ = I(x, y) est l’image d’origine, b_i est  la fréquence spatiale.

 Les filtres H et G sont des filtres passe-bas et passe-haut respectivement. A_n est obtenue par filtrage passe-bas, et est donc l’image à basse résolution à l’échelle n.

Les D_ni  sont obtenues par un filtrage passe-bande dans une direction spécifique; par conséquent, elles contiennent les informations de détails à l’échelle n.

 L’image d’origine I est donc représentée par un ensemble de sous-images à différentes échelles : { A_n, D_ni }, i=1,2,3, et n= 1, …, d. Ceci est la représentation multi-échelle de profondeur d de l’image I.

 Puisque l’information la plus importante concernant la texture est ôtée par filtrage passe-bas, alors l’énergie de l’image de basse résolution A_d ne contient généralement pas d’informations sur la texture.