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1   Enjeu : débruitage et déconvolution d'images

La restauration et la reconstruction d'image peut être définie comme un problème général d'estimation d'un objet bidimensionnel à partir d'une version dégradée de cet objet [1]. La dégradation est une distorsion qui peut être modélisée par 
\begin{displaymath}z = T(u) \bullet b \end{displaymath}

où $T(.)$ est le mécanisme de dégradation, b un bruit et le symbole $\bullet$ une intéraction pixel par pixel. Le mécanisme de dégradation implique souvent une convolution (flou) et le bruit peut souvent être modélisé par un processus gaussien de moyenne nulle et de variance ${\sigma}_b$, si bien que l'on peut décrire la restauration comme la recherche de 

\begin{displaymath}\tilde{u} =\arg \min_u \vert\vert T*u - z \vert\vert = \arg \min_u J_1(u, z) \end{displaymath}

L'estimation se pose ainsi en terme de problème inverse. La difficulté qui apparaît rapidement est que la plupart de ces problèmes inverses sont mal posés (mal conditionnés) dans le sens que l'opérateur d'estimation amplifie le bruit de l'image. Un principe général pour surmonter les phénomènes d'instabilité rencontrés est l'introduction d'une régularisation. Ceci conduit en fait à utiliser l'information a priori que l'on a sur l'image. 

Bien qu'il soit difficile d'obtenir des modèles statistiques pour les images, on peut toutefois les modéliser comme des éléments d'un ensemble particulier $\Theta$. Par exemple la plupart des images apartiennent à l'ensemble des signaux dont la variation totale est bornée par une constante[2]. D'où l'idée de reformuler le problème pour contrôler la régularité de l'image estimée: 

\begin{displaymath}\tilde{u} = \arg \min_u J_1(u, z)+ \beta J_2(u) \end{displaymath}

où $J_2(.)$ est un terme de régularisation, par exemple la variation totale. Si $\beta$ est petit, on aura une bonne fidélité aux données. Si $\beta$ augmente on aura une image beaucoup plus régulière. Le débruitage de l'image peut être considéré comme le cas particulier où l'on veut trouver une estimation de u dans l'ensemble $\Theta$, c'est-à-dire une image plus régulière que l'image observée. Fatemi, Rudin et Osher ont été les premiers en 1992 a concevoir un algorithme efficace de ce concept dans un article célèbre [3]. Nous nous proposons d'étudier dans ce document une mise en \oeuvre possible et les propriétés de la restauration par minimisation de la variation totale. 

La section qui suit constitue un rappel théorique sur la notion de variation totale. Nous détaillons aussi dans cette section la manière dont on peut mettre en \oeuvre numériquement un algorithme dans un cadre discret. 

 Références

  1. Demoment G., ``Image Reconstruction and Restoration: Overview of Common Estimation Structures and Problems'', IEEE Trans. Acoustic speech and Signal Processing, Vol 37, No 12, 1989, p. 2024-2036.
  2. Mallat S., Une exploration des signaux en ondelettes, Ed. Ecole Polytechnique, Palaiseau. 2000.
  3. Rudin L., Osher SJ., Fatemi E., ``Nonlinear total variation based noise removal algorithms'', Physica D, Vol 60, 1992, p. 259-268.
  

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