Pas de temps

Nous rappelons l'équation (3):

$$(Id + \tau A)v^t = (v^{t-1} + \tau F(v^{t-1}))$$

Nous pouvons donc remarquer que la position au point $t$, $v^t$ est obtenue en déplaçant le point $v^{t-1}$ le long du vecteur $\tau F(v^{t-1})$. Le choix du pas de temps $\tau$ est donc déterminant pour l'évolution de la courbe.
Si $\tau F(v^{t-1})$ est trop grand, $v^{t}$ risque de passer par dessus le contour. Deux cas se présenteront alors:

• Soit $v^{t}$ sera tellement loin du contour qu'il ne verra plus le minimum d'énergie, il ne reviendra donc jamais et se stabilisera au niveau d'un autre minimum.
• Soit, $v^{t}$ dépasse le contour et va osciller avec une grande amplitude autour de l'équilibre sans jamais l'atteindre.

Inversement, si $\tau$ est trop petit, la courbe évolue trop lentement et peut s'accrocher dans des minima locaux, la force n'étant pas suffisamment grande pour en sortir.
De plus, un $\tau$ donné sera trop petit pour certains points et trop grand pour d'autres. Pour remédier à ce problème, les auteurs de [1] font varier le pas de temps d'une manière itérative grâce à un potentiomètre. Dans l'article [2], au lieu de modifier le pas de temps, la force $F$ est normalisée. Cela permet en quelque sorte de définir localement un pas de temps en fonction des points de la courbe. Dans notre cas, nous avons résolu le problème en modifiant $F$ et non $\tau$ comme nous l'expliquons dans la page suivante parce que la normalisation entraine des oscillations notament sur des images types qui ont seulement deux niveaux de gris (noir et blanc) car elles comprennent de nombreuses zones où le gradient est nul.

Figure 4: A gauche, le pas de temps est trop grand, $\tau = 0.0004$, la force $\tau F(v^{t-1})$ est donc trop forte et le résultat complètement instable. A droite, le pas de temps est trop petit, $\tau = 0.00004$ la courbe reste bloquée dans un minimum local.

Figure 5: $\tau$ = $0.0001$. On constate alors que le snake épouse bien le contour, sans instabilité et sans rester bloqué dans un minimum local.

Remarque: Pour mettre en évidence ce phénomène, nous avons manuellement rajouté un minimum local assez proche de la forme à segmenter.