ANALYSE de TEXTURE
par FOURIER

par Alexandre BARRÉ et Lilian DOLLET


 








 
 

Introduction


 




L'analyse est un domaine très important du traitement de l'image. Les principales informations dans l'interprétation du message visuel pour un observateur humain sont les contours et/ou les textures. L'analyse de l'image consiste souvent à extraire un certain nombre de propriétes caractéristiques et à les exprimer sous forme paramétrique. L'étape d'extraction des paramètres précède souvent une étape de décision de manière à pouvoir répondre à des questions telles que: matériau normal ou défectueux? tissu biologique sain ou pathologique? types de défauts?.....Les paramètres calculés permettent donc de décrire, de caractériser, de segmenter et d'analyser les images en question. Selon le cas, l'analyse peut être globale ou locale, la notion de localité prenant toute son importance avec la complexité de l'image. Il est évident que le choix des paramètres dépend surtout de l'application considérée, par exemple de lier ces paramètres avec les propriétés physiques et biologiques réelles afin de les quantifier ou alors de trouver des similitudes avec des textures de référence afin de les identifier. L'interprétation des informations dans un environnement naturel n'est pas un problème simple. En effet, les textures naturelles sont très irrégulieres et ne peuvent etre modélisées précisement par les techniques mathématiques actuelles.



 
 


Notion de texture et méthodes d'analyse


 




  • comment définir une texture ?

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    La définition littéraire de la texture est la suivante: "répétition spatiale d'un même motif dans différentes directions de l'espace". Cette définition est limitative car elle caractérise l'objet indépendamment d'un observateur humain. La notion de texture est utilisée pour traduire un aspect homogène de la surface d'un objet sur une image. La texture se manifeste donc par une information visuelle qui permet de la décrire qualitativement a l'aide des adjectifs suivants: grossière, fine, lisse, tachetée, granuleuse, marbrée, régulière ou irrégulière. De nombreuses études psychovisuelles ont été faites sur la discrimination de texture par le systeme visuel humain. Une conjecture importante et valide dans beaucoup de cas est que l'oeil humain ne peut discerner instantanément deux textures dont les statistiques du second ordre sont identiques. Cependant, il existe des cas ou des textures ayant les mêmes statistiques du second ordre sont néanmoins discriminables sur la base de propriétés locales.

    Haralick [HARA79] élargit la définition en décrivant une texture comme un phénomène a deux dimensions: la première concernant la description d'éléments de base ou primitives (le motif) à partir desquels est formée la texture; la deuxième dimension est relative a la description de l'organisation spatiale de ces primitives. Unser présente la texture comme une structure disposant de certaines propriétés spatiales homogènes et invariantes par translation. Une autre approche serait encore de définir la texture a partir de deux types d'informations essentielles que comporte l'image: 1) les contours, de type monodimensionnel, qui marquent les frontières entre régions homogènes et 2) l'aspect de surface, de type bidimensionnel, qui définit les régions homogènes. Cependant, la description d'une texture peut s'avérer erronée à une autre echelle d'observation, c'est à dire en changeant la résolution.

    En pratique, on distingue deux grandes classes de textures, qui correspondent à deux niveaux de perception: 1) les macrotextures qui présentent un aspect régulier, sous formes de motifs répétitifs spatialement placés selon une règle précise (ex: peau de lézard, mur de brique) donc une approche structurelle déterministe; 2) les microtextures présentant des primitives "microscopiques" distribuées de manière aléatoire (ex: sable, laine tissée, herbe) d'ou une approche probabiliste cherchant a caractériser l'aspect anarchique et homogène.

    Gagalowicz [GAGA83] propose une synthèse des deux approches en considérant la texture comme "une structure spatiale constituée de l'organisation de primitives ayant chacune un aspect aléatoire, donc une structure hiérarchique à deux niveaux".
     

  • méthodes d'analyse de texture

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    Le but de l'analyse de texture est de formaliser les descriptifs de la texture par des paramètres mathématiques qui serviraient a l'identifier. Dans ce sens, les critères visuels qui ont été retenues pour la texture sont: le contraste, la granularité, l'orientation, la forme, la finesse, la régularité et la rugosité. Une multitude de méthodes, de variantes et de combinaisons de méthodes ont deja été proposées dans la littérature et éprouvées en pratique [JAIN82].

    1) Les méthodes structurelles tiennent compte de l'information structurelle et contextuelle d'une forme et sont particulierement bien adaptées aux textures macroscopiques. Les étapes d'analyse sont d'abord l'identification des éléments constitutifs, puis la définition des règles de placement. Les deux structures les plus importantes sont les structures de graphe et les structures syntaxiques.

    2) Du point de vue des méthodes statistiques, la texture est considerée comme la réalisation d'un processus stochastique stationnaire. Des paramètres statistiques sont estimés pour chaque pixel de l'image. Suivant la modalité des images à étudier, la signature la plus discriminante de la texture est à rechercher soit dans des méthodes qui exploitent directement les propriétés statistiques de la texture (matrices de coocurrences, matrice de longueurs de plages, matrice de voisinage, fonction d'autocorrelation, modèle de Markov, modèle autorégressif, modèles issues de la morphologie mathématique), soit dans des méthodes qui exploitent les propriétés statistiques a partir d'un plan transformé dans lequel on réecrit l'image de texture (densité spectrale, méthode des extremas locaux, méthodes de transformation de Fourier, Karhunen Loeve, Walsh Hadamard, Slant ou avec des filtres numériques).

    3) Les méthodes basées sur l'étude des formes se trouvent au croisement de la reconnaissance des formes, de la caractérisation de défauts et de l'analyse macrotextural. Les régions texturales de l'image épousent des formes particulières et peuvent etre caracterisées par des paramètres dits de formes.

    4) Dans les méthodes spatio-fréquentielles, les représentations spatio-fréquentielles préservent a la fois les informations globales et locales donc elles sont bien adaptées aux signaux quasi périodiques. En effet, les textures sont des signaux quasi périodiques qui ont une énergie fréquentielle localisée. Ces méthodes permettent de caractériser la texture à différentes echelles.

    5) Du point de vue de la synthèse d'image, les méthodes fractales sont a part car elles permettent de synthétiser des images très proches de la réalité. En analyse de texture, la dimension fractale, qui est une mesure du degré d'irrégularité d'un objet, décrit une certaine propriété de la texture. Le modele fractal est basé essentiellement sur l'estimation par des méthodes spatiales de la dimension fractale de la surface représentant les niveaux de gris de l'image.




     
     


    Domaines d'application de l'analyse de texture


     




    L'analyse de texture est utilisée dans des domaines de plus en plus variés. La caractérisation, la segmentation des images ou la reconnaissance des formes représentent ses plus importantes applications.

    L'analyse de texture est souvent employée comme un moyen pour finaliser la segmentation d'un image. En effet, dans le cas des images naturelles, la seule étude de la distribution des niveaux de gris est insuffisante pour caractériser les zones homogènes. C'est le cas pour les images multispectrales réalisées en télédétection ou les estimateurs de textures permettent de différencier un champ, d'une forêt, d'une ville..... C'est le cas aussi en imagerie médicale ou ces mêmes estimateurs permettent de faire la distinction entre tissus sains et tissus pathologiques (détection de lésions, dépistage de pathologies, segmentation en IRM....).

    En compression d'images, les attributs texturaux permettent de représenter l'image par un nombre minimal de paramètres et de ce fait permettent une reconstitution de l'information avec un minimum d'erreur.

    La caractérisation de texture a l'aide de paramètres pertinents permet également la restauration d'une partie dégradée ou manquante dans une image en la remplacant par une version synthétique générée a partir du modele textural élaboré. Dans le domaine de l'infographie ou de l'audiovisuel, la synthèse de texture découle naturellement de l'analyse et conduit a son utilisation pour le réalisme, l'art, le design....

    En contrôle non destructif, l'analyse de texture est largement utilisée pour l'inspection des surfaces en contrôle de qualité (produits industriels, matériaux, produits alimentaires, détection de défauts...).



     


    Théorie et propriétés de la Transformée de Fourier


     




    L'information contenue dans l'image peut être représentée de différentes facons afin de mieux mettre en évidence certaines propriétés des images. Les images peuvent être représentées soit dans le domaine spatial, soit dans le domaine fréquentiel. Certaines théories neurophysiologiques ont également fait évoluer le traitement des images vers des méthodes combinant les deux domaines. La représentation spatiale d'une image numérique correspond au plan des valeurs de chaque pixel représenté par une matrice rectangulaire. En représentation fréquentielle, on utilise notamment la transformée de Fourier qui nous intéresse plus particulièrement dans le cadre de ce projet.

    La transformée de Fourier (TF) permet de passer d'une représentation de l'image dans le domaine spatial à sa représentation dans le domaine fréquentiel. Pour un signal discret 2D, la TF s'exprime sous la forme de l'équation:

    En réalité, l'image est un signal à support borné donc la TF discrète est donnée par l'équation:
    Dans la suite, nous ne parlerons que du spectre de Fourier qui est le module de la TF sans tenir compte de l'interprétation de la phase. Quelques caractéristiques globales du spectre: le lignage vertical (resp. horizontal) du spectre correspond aux lignes horizontales (resp. verticales) sur l'image; les périodicités dans l'image se traduisent par des périodicités dans le spectre; le spectre nous montre les composantes énergétiques fréquentielles de l'image; le spectre est tout indiqué pour effectuer du filtrage et ne conserver que certaines bandes de fréquences sur l'image originale. La densité spectrale de puissance (DSP) est la TF discrete de la fonction d'autocorrelation dans l'équation:

    Les textures sont souvent quasi périodiques. Elles présentent une certaine régularité ou périodicité. Cette information est redondante dans la représentation spatiale de l'image de texture. Par la nature du plan spectral, celle ci se retrouve réorganisée (et réduite) lorsqu'on adopte un tel plan pour la représentation. De ce fait, certaines informations sur la texture sont plus facilement accessibles dans le plan spectral.

    Basiquement, les résultats de la TF nous informent sur le contenu fréquentiel global a partir duquel certains paramètres caractéristiques texturaux peuvent être extraits. Mais, la représentation de notre image texturée dans le plan de Fourier peut également nous autoriser une analyse spectrale locale donc plus fine qui peut nous permettre l'extraction de certains parametres texturaux et/ou d'effectuer une analyse à caractère multirésolution .



     


    Extraction de paramètres à partir de Fourier


     




    Il existe peu de méthodes pour extraire d'une texture la primitive et la règle de placement. Néanmoins, pour les textures périodiques, il est aisé de déterminer les périodes (règle de placement) grâce au spectre de Fourier. Les textures naturelles restent cependant, dans l'ensemble, difficiles a modéliser.
     

  • analyse spectrale globale

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    Le spectre peut nous permettre de calculer la périodicité d'une texture. Si la texture est périodique, toute l'énergie du spectre de puissance est concentrée sur les fréquences correspondant aux périodes définies par h=mf1+nf2 (m et n sont les coordonnées entières spatiales de l'image).Les fréquences f1 et f2 caractérisent donc la périodicite de l'arrangement du motif de texture dans l'image. Matsuyama [MATS83] propose une méthode pour déterminer les deux vecteurs f1 et f2 engendrant la période minimale a partir des périodes calculées dans le plan de Fourier. Dans le cas des textures périodiques bruitées ou avec des irrégularités dans la répartition des primitives (cas des textures naturelles), l'énergie du spectre aux fréquences h reste un critère discriminant. Pour une image M*M les relations entre les périodes spatiales et spectrales sont formulées par l'équation:
    et l'équation:
    .

    Par extraction des maximas locaux du spectre et suppression des harmoniques, on en déduit f1, f2 et l'angle. Quelques résultats de calcul de fréquences privilégiées sur différentes images plus ou moins texturées sont disponibles sur la page "étude d'une texture par son spectre global" .

    Pour déterminer les directions des différentes périodicités de la texture, on peut également donner l'expression en coordonnées polaires avec l'équation:

    Le spectre est estimé par la méthode du périodogramme. Les maximums de cette fonction indiquent avec précision: 1) les périodes dans une direction donnée donc à angle fixe; 2) les directions des périodes pour une distance donnée par rapport au centre. Attention de prendre toujours en compte l'écart de 90 degrés entre les directions spatiale et fréquentielle.

    Extension: A l'aide des fréquences privilégiées extraites du spectre, on peut synthétiser la texture, ce qui permet d'enlever des défauts tels que le bruit.
                        La page "synthèse de texture" présente un exemple de reconstruction de texture.

  • analyse spectrale locale
  • En analyse d'image, beaucoup de tâches comme la segmentation, la caractérisation, la détection de contours, la reconnaissance d'objets.... nécessitent une analyse locale de l'image. Des méthodes d'analyse spatiale, espace-fréquence et espace-echelle ont largement été exploités. Dans cette partie, nous nous intéressons plus particulièrement a une interprétation possible de la TF comme outil d'analyse spectrale locale. Une analyse spectrale locale de l'image se réfère a une description du contenu fréquentiel en fonction de la position dans l'image, très utile par exemple en compression d'images. Différents auteurs ont déjà proposé d'extraire des paramètres a partir du plan de Fourier.

    Bajcy et Lieberman [BAJC76] calculent des spectres de puissance par TF dans différentes fenêtres sur l'image. La taille de la fenêtre est choisie relativement a la taille du plus large motif contenu dans la texture. L'étude de la forme du spectre de puissance suivant le rayon et suivant l'angle directionnel permet donc de considérer la texture. Cette méthode est équivalente à celle développée précédemment a la seule différence que les calculs ne sont effectués que pour certaines parties de l'image d'ou une détermination plus locale de la directionnalité et de la qualité de la texture.

    Un certain nombre de méthodes, couramment utilisées, notamment celle de Chen [CHEN82], reposent sur des sommations d'énergie dans des secteurs particuliers du spectre de puissance. En calculant l'énergie dans des zones de l'image de différentes géométries (ex: rectangle, anneau, secteur angulaire....), on peut accéder aux propriétés de l'image de texture: finesse, grossiereté, directions privilegiées. Les textures fines ont une plus grande énergie vers les hautes fréquences à l'inverse des textures grossières. Des anneaux centrés sur l'origine et disposés dans différentes zones fréquentielles permettent de comparer la proportion d'énergie totale qui se trouve a l'intèrieur de chaque anneau. L'utilisation de secteurs angulaires d'angle fixe permet aussi de déterminer la directionnalité de la texture. Chacun de ces deux types de paramètres est sensible à la taille et à l'orientation de la zone d'étude.

  • paramétrisations supplémentaires et complémentaires

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    L'étude des pics contenus dans la représentation spectrale et de la forme de celle ci permettent également de caractériser une texture. Afin de mieux discriminer les textures, Jernigan et D'Astous [JERN84] ont proposé des paramètres additionnels à extraire du domaine spectral. Ces paramètres mesurent des caractéristiques spécifiques de la distribution des composantes du spectre de puissance en fonction des fréquences spatiales. Les paramètres proposés quantifient des propriétés telles que la régularité, la directionnalité, la linéarité, la finesse. Ils sont evalués à partir de l'étude du pic central et de la forme particulière du spectre de puissance en fonction de la texture. Les entropies mesurent régionalement la présence des composantes fréquentielles dans certaines bandes fréquentielles. Les textures bruitées qui ont beaucoup de composantes fréquentielles donnent une plus grande valeur de l'entropie. Au contraire, les textures hautement structurées ont une faible entropie. Ces paramètres pris séparemment ont été jugés trop peu discriminant pour des textures naturelles car ils sont sensibles au bruit.Un compte rendu de la méthode et du calcul accompagné de quelques exemples justificatifs est disponible sur la page "des textures et leurs entropies".

    Sur le même thème, Liu et Jernigan [LIU90] ont regroupé une liste de 28 paramètres mesurés sur la TF. Certains de ces paramètres sont calculés sur la phase de la TF mais cette liste reste cependant peu utilisée. Le pouvoir discriminant de ces paramètres a été demontré même en présence de bruit ce qui est intéressant pour l'application à des textures naturelles.




     


    Les perspectives de l'analyse de texture par Fourier : la multirésolution


     


    Les travaux de recherche de Calway [CALW93] [HSU93], ces dernières années, sont surtout axés sur une analyse par Fourier utilisant une transformée appelée transformée de Fourier multirésolution (TFM). Cette transformée est actuellement étudieé a travers ses applications en analyse de signal audio, analyse d'image et notamment pour l'analyse de texture. La TFM, généralisation des transformées en ondelettes et de Gabor, est spécifiquement désignée pour une analyse de Fourier multiechelle et semble fournir une représentation locale bien adaptée a la segmentation. Cette transformée constitue une amélioration de la transformée en ondelettes car elle fournit une représentation complète dans le domaine fréquentiel à chaque echelle, donc étant capable d'analyser chaque région de l'image sur tout un domaine fréquentiel. Toutes les caractéristiques de cette TFM font donc apparaître une souplesse nouvelle par rapport aux transformées en ondelettes. La TFM continue en 1D dans l'équation:

    est paramétrée par un terme d'echelle fixe, la position de la fenêtre de localisation et la fréquence. Une fenêtre est utilisée pour découper une partie de l'image mais avec une largeur qui varie de manière affine comme pour une transformée en ondelettes continue. La méthode consiste d'abord à faire une analyse globale, donc une TF, sur toute l'image puis successivement à faire des analyses avec des fenêtres de plus en plus fines et de plus en plus nombreuses.
     
     


    Conclusion


     




    Les méthodes globales sont simples à utiliser et rapides. Par contre, les méthodes d'analyse locale sont plus précises et plus riches en information. Les méthodes d'analyse globale permettent de décrire globalement la texture et, utilisées en première approximation, permettent d'orienter l'application des méthodes locales en économisant du temps car ces dernières sont coûteuses en temps de calcul.

    Mise a part l'analyse multirésolution de texture, la TF reste un outil surtout utilisé pour son caractere global ou en première approximation. L'analyse locale par Fourier ne semble en effet pas suffisamment précise et insuffisamment riche en informations et en pertinence. Pour faire face aux difficultés d'analyse des textures naturelles, l'outil espace-fréquence et temps-echelle qui semble le plus approrié est la transformée en ondelettes. Celle ci permet de prélever des paramètres locaux dans le domaine spatial, dans le domaine fréquentiel, à des résolutions multiples ainsi que des paramètres inter-echelles. De plus, son mode d'investigation, du global vers le détail, possède une similitude avec le système visuel humain.

    D'autres méthodes multirésolutions permettant de mesurer des caractéristiques de l'image à des résolutions différentes sont par exemple: 1) la pyramide laplacienne et la pyramide gaussienne correspondant à des opérations de filtrage de taille fixe ou variable, 2) les transformées de Gabor et Wigner-Ville utilisées pour discriminer ou segmenter les textures, 3) les fractales pour déterminer la dimension fractale à partir d'outils multi-echelles.



     


    Bibliographie


     


    [BAJC76] R.Bajcsy and Lieberman, "Texture gradientas a depth cue",Computer graphics and image processing 1976, vol.5.

    [CALW93] A.Calway, "Image analysis using a generalised wavelet transform", Colloque institution of electrical engineers 1993, vol.DIG009

    [CHEN82] C.H.Chen, "A study of texture classification using spectral features", Proceedings of the 6th international conference of pattern recognition, Munich 1982.

    [GAGA83] A.Gagalowicz, "Vers un modèle de textures ", Thèse de doctorat univ. Pierre et Marie Curie, Paris V, mai 1983.

    [HARA79] R.M.Haralick, "Statistical and structural approaches to texture", Proceedings of the IEEE, mai 1979, number 5, vol.67.

    [HSU93] T.Hsu, A.Calway, R.Wilson, "Texture analysis using the multiresolution Fourier transform", Proceedings at the 8th scandinavian conference on image analysis, Tromso, mai1993.

    [JAIN92] A.K.Jain and M.Tuceryan, "Texture analysis", chapter 11 in the Handbook of pattern recognition and computer vision by C.H.Chen  1992.

    [JERN84] M.E.Jernigan and F.D'Astous, "Entropy-based texture analysis in the spatial frequency domain", IEEE Trans. on pattern analysis and machine intelligence 1984, vol.PAMI6.

    [LIU90] S.S.Liu and M.E.Jernigan, "Texture analysis and discrimination in additive noise ", Computer vision, graphics and image processing 1990, vol.49.

    [MATS83] T.Matsuyama, S.Miura and M.Nagao, "Structural analysis of natural textures by Fourier transformation ", IEEE CVGIP, 24, 1983.