Transformation de Fourier discrète
Tout d'abord, notons que pour obtenir la transformation de Fourier discrète (DFT) d'une image, il suffit d'appliquer la DCT unidimensionnelle sur chaque ligne de l'image, puis de réitérer ce procédé sur les colonnes (l'ordre lignes puis colonees ou colonnes puis lignes n'a strictement aucune importance).
Par conséquent, nous ne décrirons la DFT que sur un signal à une dimension, que l'on appellera f.
Nous nous intéressons à un signal discret défini sur un domaine borné, disons l'intervalle [0,T], échantillonné régulièrement : on a f(0), f(T/N), f(2T/N),...,f(T). Rien ne nous empêche de le considérer comme un signal périodique de période T. Ceci nous permettra de développer f en série de Fourier.
Deux approches s'offrent à nous:
- supposer que f est un signal effectivement discret, c'est-à-dire une somme de Dirac.
- ou bien considérer que nos échantillons proviennent d'un signal continu.
Nous verrons que les deux points de vue sont équivalents.
Approche discrète
On observe que les coefficients de Fourier de f sont périodiques : il suffit d'en connaître N consécutifs pour les avoir tous. Intuitivement, le signal pouvant être décrit par N complexes, il est naturel que la description fréquentielle du signal soit donnée elle aussi par N complexes.
Approche continue
Cette approche aura le mérite de présenter des expressions plus simples.
Il s'agit de considérer que l'on a échantillonné un signal continu, et de décomposer ce signal en série de Fourier. Le fait que l'on n'ait pas la totalité de l'information du signal mais seulement N échantillons nous laisse une certaine souplesse dans la représentation en série de Fourier, comme nous allons le voir par la suite.
On suppose que nos échantillons sont des valeurs d'un polynôme en exponentielles:
Remarquons quel'on obtient les mêmes coefficients de Fourier que dans l'approche discrète. Il s'agit donc bien de deux façons de voir une seule et même chose.
On pourrait tout aussi bien écrire :
Quoiqu'il en soit, les fréquences qui ont une réelle interprétation physique correspondent à n compris entre -N/2 et N/2-1. On peut s'y ramener facilement de la manière suivante :
Attention : Les hautes fréquences sont atteintes pour n proche
de
N/2 en
module.
Cette remarque est importante pour comprendre comment fonctionne le zero-padding.
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Nils Raynaud
Last modified: Fri Mar 17 18:10:15 MET 2000