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Évènements
Soutenance de thèse de Sylvain Le Corff
Vendredi 28 septembre à 14H00, Amphi Saphir
Télécom ParisTech -- 46, rue Barrault -- 75013 Paris

Estimations de modèles de Markov cachés et approximations particulaires
Applications au problème de cartographie et de localisation simultanées

Auteur
Sylvain Le Corff.
Date
Vendredi 28 septembre 2012 à 14H00.
Lieu
Télécom ParisTech -- Site Barrault -- Amphi Saphir.
Directeur(s) de thèse
Membres du jury
Rapporteurs
  • Arnaud Doucet (Oxford University),
  • Gilles Pagès (Université Pierre et Marie Curie).
Examinateurs
  • Elisabeth Gassiat (Université Paris-Sud),
  • Jean-Michel Marin (Université Montpellier II).

résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'estimation de paramètres dans les chaînes de Markov cachées en dimension finie et en dimension infinie. Dans le cas de la dimension finie, nous imposons des contraintes sur le calcul de l'estimateur proposé : un premier volet de cette thèse est l'estimation en ligne d'un paramètre au sens du maximum de vraisemblance. Le fait d'estimer en ligne signifie que les estimations doivent être produites sans avoir besoin de conserver toutes les observations et sans devoir toutes les utiliser pour produire une seule estimation. Nous proposons une nouvelle méthode d'estimation en ligne pour les chaînes de Markov cachées basée sur l'algorithme Expectation Maximization appelée Block Online Expectation Maximization (BOEM). Cet algorithme est défini pour des chaînes de Markov cachées à espace d'état et espace d'observations généraux. La consistance de l'algorithme ainsi que des vitesses de convergence en probabilité ont été prouvées.

Dans le cas d'espaces d'état généraux, l'implémentation numérique de l'algorithme BOEM requiert d'introduire des méthodes de Monte Carlo séquentielles -- aussi appelées méthodes particulaires -- pour approcher des espérances conditionnelles sous des lois de lissage qui ne peuvent être calculées explicitement. Nous avons donc proposé une approximation Monte Carlo de l'algorithme BOEM appelée Monte Carlo BOEM. Parmi les hypothèses nécessaires à la convergence de l'algorithme Monte Carlo BOEM, un contrôle de la norme Lp de l'erreur d'approximation Monte Carlo explicite en le nombre d'observations T et le nombre de particules N est nécessaire. Par conséquent, un second volet de cette thèse a été consacré à l'obtention de tels contrôles pour plusieurs méthodes de Monte Carlo séquentielles : l'algorithme Forward Filtering Backward Smoothing et l'algorithme Forward Filtering Backward Simulation.

Nous avons également considéré des applications de l'algorithme Monte Carlo BOEM à des problèmes de cartographie et de localisation simultanées. Ces problèmes se posent lorsque un mobile se déplace dans un environnement inconnu. Il s'agit alors de localiser le mobile tout en construisant une carte de son environnement.

Enfin, la dernière partie de cette thèse est relative à l'estimation non paramétrique dans les chaînes de Markov cachées. Le problème considéré a été très peu étudié et nous avons donc choisi de l'aborder dans un cadre précis. Nous supposons que la chaîne cachée est une marche aléatoire sur un sous-espace compact de Rm dont la loi des incréments est connue à un facteur d'échelle près. Nous supposons également qu'à chaque instant une transformation de l'état caché par une fonction f est observée dans un bruit additif gaussien. Nous cherchons alors à estimer f et le facteur d'échelle. Le premier résultat que nous avons établi est l'identifiabilité du modèle statistique considéré. Nous avons également proposé une estimation de la fonction f et du paramètre d'échelle à partir de la log-vraisemblance par paires des observations. Nous avons prouvé la convergence en probabilité de ces estimateurs lorsque le nombre d'observations utilisées tend vers l'infini.


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